Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого четыре прямых угла. Размеры прямоугольника задаются длиной его сторон, обозначаемых обычно a и b. Прямоугольник, все стороны которого равны (a=b) называется квадратом. Свойства прямоугольника противолежащие стороны равны и параллельны друг другу; диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам; сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (четырех) сторон. Периметр P прямоугольника равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу P = 2(a + b). Длина диагонали d прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора: d = √(a2 + b2). Углы между диагоналями прямоугльника определяются соотношением сторон: α = 2arctg(a/b), β = 2arctg(b/a), α + β = 180°. Площадь S прямоугольника равна произведению сторон, прилежащих к одному углу: S = a·b. Также можно выразить площадь прямоугольника через длину диагоналей и угол между ними: S = d2·sin(α/2)·cos(α/2). Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен половине длины диагонали: R = √(a2 + b2)/2. В прямоугольник (если он не квадрат) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон. Максимальный радиус окружности, которая может поместиться внутри прямоугольника, равен половине его меньшей стороны.
Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 331. Чему равен куб суммы этих чисел?
(x+1)^3-x^3=331
x^3+3x^2+3x+1-x^3=331
3x^2+3x-330=0
x^2+x-110=0
D=1+440=441
x=(-1-21)/2 - не натуральное
x=(-1+21)/2=10
х+1=11
(10+11)^3=9261
ответ: 9261
Задание № 4:
Стоимость билета в кино была 1200 рублей. После снижения стоимости количество посетителей увеличилось 1,5 раза и сбор увеличился на 25%. На сколько рублей была снижена стоимость билета? Дайте ответ в рублях.
пусть цену билета снизили на часть, равную, то есть цена стала 1200(1-х), соответственно разница между стоимостями 1200х
изначально было n посетителей
после - стало 1,5n
изначальный сбор 1200*n
после - стал 1200(1-х)*1,5n
и новый сбор в 1,25 раза больше старого
1200(1-х)*1,5n=1,25*1200*n
1200(1-х)*1,5=1,25*1200
(1-х)*1,5=1,25
1-х=5/6
х=1/6
1200х=1200*1/6=200
ответ: 200
Задание № 5:
На часах со стрелками ровно 10. Через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? Дайте ответ в минутах, округлите до целых.
рассматриваем минутный циферблат:
координата часовой: 50+t/12=50+t/720 // 10 часов соответствует 50 минутам, скорость часовой в 12 раз меньше скорости минутной
координата минутной: 0+t
t - время
координаты должны совпасть
50+t/12=t
50=11t/12
11t=600
t=54,54=55
ответ: 55
Задание № 7:
Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?
надо найти, как часто встречался бы встречный автобус, если этот автобус затормозил
наша скорость х
скорость встречного 1,5х
общая скорость 2,5х
при общей скорости 2,5х интервал времени 6 минут: L=2,5х*6
если наш автобус встал, то общая скорость равна скорости встречного 1,5х
при общей скорости 1,5х интервал времени = L/1,5x=2,5х*6/1,5x=10 минут
значит и в поселок автобус приходит каждые 10 минут, то есть 60мин/10мин = 6 автобусов в час
Свойства прямоугольника
противолежащие стороны равны и параллельны друг другу;
диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (четырех) сторон.
Периметр P прямоугольника равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу
P = 2(a + b).
Длина диагонали d прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора:
d = √(a2 + b2).
Углы между диагоналями прямоугльника определяются соотношением сторон:
α = 2arctg(a/b),
β = 2arctg(b/a),
α + β = 180°.
Площадь S прямоугольника равна произведению сторон, прилежащих к одному углу:
S = a·b.
Также можно выразить площадь прямоугольника через длину диагоналей и угол между ними:
S = d2·sin(α/2)·cos(α/2).
Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен половине длины диагонали:
R = √(a2 + b2)/2.
В прямоугольник (если он не квадрат) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон. Максимальный радиус окружности, которая может поместиться внутри прямоугольника, равен половине его меньшей стороны.
Задание № 1:
Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 331. Чему равен куб суммы этих чисел?
(x+1)^3-x^3=331
x^3+3x^2+3x+1-x^3=331
3x^2+3x-330=0
x^2+x-110=0
D=1+440=441
x=(-1-21)/2 - не натуральное
x=(-1+21)/2=10
х+1=11
(10+11)^3=9261
ответ: 9261
Задание № 4:
Стоимость билета в кино была 1200 рублей. После снижения стоимости количество посетителей увеличилось 1,5 раза и сбор увеличился на 25%. На сколько рублей была снижена стоимость билета? Дайте ответ в рублях.
пусть цену билета снизили на часть, равную, то есть цена стала 1200(1-х), соответственно разница между стоимостями 1200х
изначально было n посетителей
после - стало 1,5n
изначальный сбор 1200*n
после - стал 1200(1-х)*1,5n
и новый сбор в 1,25 раза больше старого
1200(1-х)*1,5n=1,25*1200*n
1200(1-х)*1,5=1,25*1200
(1-х)*1,5=1,25
1-х=5/6
х=1/6
1200х=1200*1/6=200
ответ: 200
Задание № 5:
На часах со стрелками ровно 10. Через сколько минут стрелки часов часовая и минутная совпадут в первый раз? Дайте ответ в минутах, округлите до целых.
рассматриваем минутный циферблат:
координата часовой: 50+t/12=50+t/720 // 10 часов соответствует 50 минутам, скорость часовой в 12 раз меньше скорости минутной
координата минутной: 0+t
t - время
координаты должны совпасть
50+t/12=t
50=11t/12
11t=600
t=54,54=55
ответ: 55
Задание № 7:
Из посёлка в город идёт автобус, и каждые 6 минут он встречает автобус, который идёт из города в посёлок, и скорость которого в 1,5 раза больше. Сколько автобусов в час приходит из города в посёлок?
надо найти, как часто встречался бы встречный автобус, если этот автобус затормозил
наша скорость х
скорость встречного 1,5х
общая скорость 2,5х
при общей скорости 2,5х интервал времени 6 минут: L=2,5х*6
если наш автобус встал, то общая скорость равна скорости встречного 1,5х
при общей скорости 1,5х интервал времени = L/1,5x=2,5х*6/1,5x=10 минут
значит и в поселок автобус приходит каждые 10 минут, то есть 60мин/10мин = 6 автобусов в час
ответ: 6