Задайте формулой прямую пропорциональность график которой проходит через точку А(-2;4)

Показать ответ

Ответ:

Анимешник9595

16.02.2021 15:34

Найдем абсциссы точек пересечения графиков
х+2=х²
х²-х-2=0
х₁=-1 х₂=2
Это пределы интегрирования внешнего интеграла по переменной х
Второй интеграл по переменной у, тогда подинтегральная переменная х представляет для внутреннего интеграла константу , её можно вынести за знак внутреннего интеграла.
первая линия (линия входа в область по оси у): парабола у=х² . Это нижний предел внутреннего интеграла по переменной у,
вторая линия (линия выхода из области): прямая у=х+2. Это верхний предел внутреннего интеграла по переменной у
$= \int\limits^2_{-1} {x} \, dx \int\limits^{x+2}_{ x^{2} } {} \, dy= \int\limits^2_{-1} {x\cdot(y)^{x+2}_{ x^{2} }} \, dx = \int\limits^2_{-1} {x\cdot(x+2- x^{2} ) \, dx =$
$\\ \\ = \int\limits^2_{-1} ( x^{2} +2x- x^{3}) dx =( \frac{ x^{3} 
}{3}+ x^{2} - \frac{ x^{4} }{4}) ^2_{-1}= \\ \\ = \frac{8}{3}+4-4-(- 
\frac{1}{3}+1- \frac{1}{4})=2 \frac{1}{4}$

0,0(0 оценок)

Ответ:

Ibrolya

16.02.2021 15:34

a) это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительной производной. Также это уравнение с разделяющимися переменными.
Переходя к определению дифференциала
$\frac{dy}{dx} =- \frac{y}{2x}$

$\frac{2dy}{y} =- \frac{1}{x}$ - уравнение с разделёнными переменными

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$\int \frac{2dy}{y} dx=-\int \frac{1}{x}dx\\ \\ \ln y^2=\ln C-\ln|x|\\ \\ y^2= \frac{C}{x}$

Получили общий интеграл.

Найдем решение задачи Коши
$2^2= \frac{C}{1} \\C=4$

$\boxed{y^2= \frac{4}{x} }$ - частный интеграл.

б) y''-4y'+5y=10x+2

Классификация: Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, относится к первому виду со специальной правой части.

Нужно найти: уо.н. = уо.о. + уч.н., где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решением неоднородного уравнения.

1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
y''-4y'+5y=0

Перейдем к характеристическому уравнению, пользуясь методом Эйлера.
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда получаем
$k^2-4k+5=0\\ D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot 5=16-20=-4\\ \sqrt{D} =2i\\ k_{1,2}=2\pm i$

Тогда общее решением однородного уравнения примет вид:
$y_{o.o.}=e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)$

2) Нахождение частного решения.
Рассмотрим функцию $f(x)=10x+2=e^{0x}(10x+2)$
$\alpha=0;\,\, P_n(x)=10x+2\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, n=1$

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и принимаем во внимания что n=1, то частное решением будем искать в виде:

yч.н. = Ax+B

Предварительно вычислим 1 и 2 производные функции
$y'=A\\ y''=0$

Подставим в исходное уравнение

$0-4\cdot A+5\cdot (Ax+B)=10x+2\\ -4A+5Ax+5B=10x+2\\ 5Ax+5B-4A=10x+2$

Приравниваем коэффициенты при степени х

$\displaystyle \left \{ {{5A=10} \atop {5B-4A=2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=2} \atop {B=2}} \right.$

Частное решение будет иметь вид: уч.н. = 2х + 2

Тогда общее решение неоднородного уравнения:

уо.н. = $e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)+2x+2$

Найдем решение задачи Коши

$y'=2e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)+e^{2x}(-C_1\sin x+C_2\cos x)+2=\\ \\ =e^{2x}(\cos x(2C_1+C_2)+\sin x(2C_2-C_1))+2$

$\displaystyle \left \{ {{2C_1+C_2+2=6} \atop {C_1+2=10}} \right. \Rightarrow \left \{ {{C_2=-12} \atop {C_1=8}} \right.$

Частное решение: уo.н. = $e^{2x}(8\cos x-12\sin x)+2x+2$