Закончите предложения:
1. Если две параллельные прямые не перпендикулярны плоскости проектирования, то их ортогональными проекциями являются
2. Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус
3. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она
Решите:
Точка А отстоит от плоскости на расстоянии 12 см. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки, если они образуют с плоскостью углы: а) 60°; б) 80°.
- перпендикулярные прямые. Обратите внимание, что ортогональные проекции получаются, когда мы опускаем перпендикулярные линии на плоскость проектирования.
2. Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус.
- Это связано с тем, что проекция отрезка на плоскость не изменяет его длины, поскольку проекция является просто отражением отрезка на плоскость. Таким образом, чтобы найти длину отрезка, мы делим длину проекции на значение косинуса угла между отрезком и плоскостью.
3. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она
- является высотой или нормалью к плоскости. Нормаль - это прямая, перпендикулярная к плоскости, в которой она лежит. Высота - прямая, проходящая через основание наклонной и перпендикулярная плоскости.
Теперь решим задачу:
Дано: точка A отстоит от плоскости на расстоянии 12 см.
Требуется: найти длины наклонных, проведенных из этой точки, если они образуют с плоскостью углы 60° и 80°.
Решение:
Для начала, построим схему:
P A
|-----------------------------|
|-----------12 см------------|
|-----------------------------|
B
Из схемы видно, что точка B будет лежать на плоскости (так как наклонные проведены из точки A и пересекают плоскость).
а) Угол между наклонной и плоскостью составляет 60°.
Для нахождения длины наклонной построим прямоугольный треугольник АВС, где АВ - отрезок, BC - наклонная, АС - проекция, угол САВ равен 60°.
P A
|-----------------------------|
|-----------12 см------------|
|-----------------------------|
B
/ \
/ \
BC/ \ AC
/ \
|-----------|
AB
Длина прямой АС получается из формулы длины стороны треугольника:
AC = AB * cos(60°).
Заменяем известные значения в формуле:
AC = 12 см * cos(60°).
Теперь находим значение косинуса 60°:
cos(60°) = 0.5.
Теперь подставляем значение косинуса в формулу:
AC = 12 см * 0.5.
Вычисляем значение:
AC = 6 см.
Таким образом, длина наклонной равна 6 см.
б) Угол между наклонной и плоскостью составляет 80°.
Снова построим прямоугольный треугольник АВС, где АВ - отрезок, BC - наклонная, АС - проекция, угол САВ равен 80°.
P A
|-----------------------------|
|-----------12 см------------|
|-----------------------------|
B
/ \
/ \
BC/ \ AC
/ \
|-----------|
AB
Длина прямой АС получается из формулы длины стороны треугольника:
AC = AB * cos(80°).
Заменяем известные значения в формуле:
AC = 12 см * cos(80°).
Теперь находим значение косинуса 80°:
cos(80°) ≈ 0.174.
Теперь подставляем значение косинуса в формулу:
AC = 12 см * 0.174.
Вычисляем значение:
AC ≈ 2.088 см.
Таким образом, длина наклонной равна приблизительно 2.088 см.
В результате, для угла 60° длина наклонной равна 6 см, а для угла 80° длина наклонной равна приблизительно 2.088 см.