Уравнение Сторон АВ = ( (x-2)/1= (y+1)/1 => y=x-3 ) BC = ( у=3-x ) AC = ( (x-2)/-3 = (y+1)/5 => у=(-5х+7)/3 Уравнение высот Уравнение высоты через вершину B Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
y = 3/5x - 9/5 или 5y -3x +9 = 0 Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AC. Уравнение AC: y = -5/3x + 7/3, т.е. k1 = -5/3 Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1. Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим : -5/3k = -1, откуда k = 3/5 Так как перпендикуляр проходит через точку B(3,0) и имеет k = 3/5,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0). Подставляя x0 = 3, k = 3/5, y0 = 0 получим: y-0 = 3/5(x-3) или y = 3/5x - 9/5 или 5y -3x +9 = 0 Найдем точку пересечения с прямой AC: Имеем систему из двух уравнений: 3y + 5x - 7 = 0 5y -3x +9 = 0 Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. Получаем: x = 31/17 y = -12/17 D(31/17;-12/17)
Уравнение Медиан Для Стороны ВС: Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1;2) Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-1) и М(1;2), поэтому: Каноническое уравнение прямой:
или
или y = -3x + 5 или y + 3x - 5 = 0
Для стороны АВ: Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(5/2;-1/2) Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-1;4) и М(5/2;-1/2), поэтому: Каноническое уравнение прямой:
или
или y = -9/7x + 19/7 или 7y + 9x - 19 = 0
Для стороны АС Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1/2;3/2) Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(3;0) и М(1/2;3/2), поэтому: Каноническое уравнение прямой:
или
или y = -3/5x + 9/5 или 5y + 3x - 9 = 0
Длс СТороны ВС Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1;2) Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-1) и М(1;2), поэтому: Каноническое уравнение прямой:
1) уравнение стороны АВ.
Найдем уравнение АВ, проходящей через две заданные точки A и В
\begin{gathered}\displaystyle \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}= \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} \\ \\ \\ \frac{x+2}{1+2}= \frac{y+3}{6+3} \\ \\ \boxed{y-3x-3=0} \end{gathered}
x
2
−x
1
x−x
1
=
y
2
−y
1
y−y
1
1+2
x+2
=
6+3
y+3
y−3x−3=0
2) Уравнение высоты CH
\dfrac{x-x_0}{A}= \dfrac{y-y_0}{B}
A
x−x
0
=
B
y−y
0
, где (А;B) - направляющий вектор перпендикулярной прямой АВ.
(-3;1) - направляющий вектор.
\begin{gathered}\displaystyle \frac{x-6}{-3} = \frac{y-1}{1}\\ \\ \boxed{3y+x-9=0} \end{gathered}
−3
x−6
=
1
y−1
3y+x−9=0
3) Уравнение медианы АМ.
Координаты точки М найдем по формулам деления отрезка пополам
x= \frac{1+6}{2} = \frac{7}{2} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y= \frac{6+1}{2} = \frac{7}{2}x=
2
1+6
=
2
7
;y=
2
6+1
=
2
7
M(\frac{7}{2} ;\frac{7}{2} )M(
2
7
;
2
7
) - точка М.
Уравнение медианы АМ будем искать по формуле для уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
\begin{gathered} \dfrac{x+2}{\frac{7}{2} +3} = \dfrac{y+3}{\frac{7}{2} +3} \\ \\ \\ \boxed{11y-13x+7=0}\end{gathered}
2
7
+3
x+2
=
2
7
+3
y+3
11y−13x+7=0
4) Точку пересечения медианы АМ и высоты СН
\begin{gathered}\displaystyle \left \{ {{3y+x-9=0} \atop {11y-13x+7=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x=9-3y} \atop {11y-13(9-3y)+7=0}} \right. \\ \\11y-117+39y+7=0\\ \\ 50y=110\\ y=2.2\\ x=2.4\end{gathered}
{
11y−13x+7=0
3y+x−9=0
⇒{
11y−13(9−3y)+7=0
x=9−3y
11y−117+39y+7=0
50y=110
y=2.2
x=2.4
N(2.4;2.2) - точка пересечения
Уравнение высот
Уравнение высоты через вершину B
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
y = 3/5x - 9/5 или 5y -3x +9 = 0
Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AC.
Уравнение AC: y = -5/3x + 7/3, т.е. k1 = -5/3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
-5/3k = -1, откуда k = 3/5
Так как перпендикуляр проходит через точку B(3,0) и имеет k = 3/5,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 3, k = 3/5, y0 = 0 получим:
y-0 = 3/5(x-3)
или
y = 3/5x - 9/5 или 5y -3x +9 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AC:
Имеем систему из двух уравнений:
3y + 5x - 7 = 0
5y -3x +9 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 31/17
y = -12/17
D(31/17;-12/17)
Уравнение Медиан
Для Стороны ВС:
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1;2)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-1) и М(1;2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3x + 5 или y + 3x - 5 = 0
Для стороны АВ:
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(5/2;-1/2)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-1;4) и М(5/2;-1/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -9/7x + 19/7 или 7y + 9x - 19 = 0
Для стороны АС
Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1/2;3/2)
Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(3;0) и М(1/2;3/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3/5x + 9/5 или 5y + 3x - 9 = 0
Длс СТороны ВС
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(1;2)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;-1) и М(1;2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3x + 5 или y + 3x - 5 = 0