Если стороны образую арифметическую прогрессию, эти три стороны можно записать так: A = a B = a + b C = a + 2b Раз треугольник прямоугольный, то для сторон должна выполняться теорема Пифагора: (a+2b)^2 = (a+b)^2 + a^2 (раскроем скобки и перегруппируем слагаемые) (a-b)^2 = 4 b^2 Получаем два варианта:
1) a - b = 2 b a = 3 b
Тогда стороны: A = 3b B = 4b C = 5b (b>0)
2) a - b = - 2 b a = - b
Тогда стороны: A = -b B = 0 C = b Но длины сторон больше нуля, поэтому это решение уравнения не реализуется в треугольнике.
ответ: Стороны прямоугольного треугольника могут образовывать арифметическую прогрессию при a = 3b. (Стороны 3b, 4b, 5b)
Рассмотрим множитель в скобках. Разложим это выражение по формуле разности квадратов:
Получились уже совсем небольшие сомножители, их можно легко посчитать. Делать мы этого, разумеется, не будем, вместо этого посчитаем остаток от деления числа на 8.
дает остаток 1 при делении на 8, тогда тоже дает остаток 1 при делении на 8, а дает остаток 5 при делении на 8, откуда при некотором натуральном n.
Значит, делится на 4 и не делится на 8, а делится на 2, но не на 4. Получается, что максимальная степень двойки, на которую делится произведение , есть
A = a
B = a + b
C = a + 2b
Раз треугольник прямоугольный, то для сторон должна выполняться теорема Пифагора:
(a+2b)^2 = (a+b)^2 + a^2
(раскроем скобки и перегруппируем слагаемые)
(a-b)^2 = 4 b^2
Получаем два варианта:
1) a - b = 2 b
a = 3 b
Тогда стороны:
A = 3b
B = 4b
C = 5b
(b>0)
2) a - b = - 2 b
a = - b
Тогда стороны:
A = -b
B = 0
C = b
Но длины сторон больше нуля, поэтому это решение уравнения не реализуется в треугольнике.
ответ: Стороны прямоугольного треугольника могут образовывать арифметическую прогрессию при a = 3b. (Стороны 3b, 4b, 5b)
Рассмотрим множитель в скобках. Разложим это выражение по формуле разности квадратов:
Получились уже совсем небольшие сомножители, их можно легко посчитать. Делать мы этого, разумеется, не будем, вместо этого посчитаем остаток от деления числа
Значит,