f(x) = x³ - 4*x² Точки пересечения с осью координат X График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x³ - 4*x² = 0 Точки пересечения с осью X: Аналитическое решениеx1 = 0x2 = 4 Численное решениеx1 = 0x2 = 4 Точки пересечения с осью координат Y График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в x^3 - 4*x^2. 3 2 0 - 4*0 Результат: f(0) = 0 Точка:(0, 0) График функции x^3 - 4*x^2 в приложении. Экстремумы функции Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx 2 -8*x + 3*x = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1 = 0 x2 = 8/3 Значит, экстремумы в точках:(0, 0) (8/3, -256/27) Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 8/3 Максимумы функции в точках:x2 = 0Убывает на промежутках(-oo, 0] U [8/3, oo)Возрастает на промежутках[0, 8/3]Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 2*(-4 + 3*x) = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1 = 4/3 Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:Вогнутая на промежутках[4/3, oo)Выпуклая на промежутках(-oo, 4/3]Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 3 2 lim x - 4*x = -oo x->-oo значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 3 2 lim x - 4*x = oo x->oo значит,горизонтальной асимптоты справа не существует Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 4*x^2, делённой на x при x->+oo и x->-oo 3 2 x - 4*x lim --------- = oo x->-oo x значит,наклонной асимптоты слева не существует 3 2 x - 4*x lim --------- = oo x->oo x значит,наклонной асимптоты справа не существует Чётность и нечётность функции Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 3 2 3 2 x - 4*x = - x - 4*x - Нет 3 2 3 2 x - 4*x = - -x - -4*x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной
Показательная функция с основанием больше единицы является возрастающей
у=2^x, у=П^x, у=0,4^-x=(10/4)^x - возрастающие
6) log5(4x-1)=2
4x-1=5^2
4x=25+1
4x=26
x=6,5
8) координаты вектора АВ=(1+1;-2+0:3-2)=(2:-2:1)
9) 2sin30-6cos30+3tg30+9ctg45=2*1/2-6*3^(1/2)/2+3*3^(1/2)/3+9*1=10-2*3^(1/2)
10) a{5;-1;2} b{3;2;-4}
модуль вектора !а-2в!=корень из(х1^2+x2^2+x3^2)
a-2в={5;-1;2}-2*{3;2;-4}=(5-6;-1-4;2--8)=(-1;-5;+10)
модуль вектора !а-2в!=корень из((-1)^2+(-5)^2+10^2)=корень из(1+25+100)= корень из126
Точки пересечения с осью координат X График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: x³ - 4*x² = 0 Точки пересечения с осью X: Аналитическое решениеx1 = 0x2 = 4 Численное решениеx1 = 0x2 = 4 Точки пересечения с осью координат Y График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в x^3 - 4*x^2. 3 2 0 - 4*0 Результат: f(0) = 0 Точка:(0, 0)
График функции x^3 - 4*x^2 в приложении.
Экстремумы функции Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx 2 -8*x + 3*x = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1 = 0 x2 = 8/3 Значит, экстремумы в точках:(0, 0) (8/3, -256/27)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 8/3 Максимумы функции в точках:x2 = 0Убывает на промежутках(-oo, 0] U [8/3, oo)Возрастает на промежутках[0, 8/3]Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 2*(-4 + 3*x) = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1 = 4/3
Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:Вогнутая на промежутках[4/3, oo)Выпуклая на промежутках(-oo, 4/3]Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 3 2 lim x - 4*x = -oo x->-oo значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 3 2 lim x - 4*x = oo x->oo значит,горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 4*x^2, делённой на x при x->+oo и x->-oo 3 2 x - 4*x lim --------- = oo x->-oo x значит,наклонной асимптоты слева не существует 3 2 x - 4*x lim --------- = oo x->oo x значит,наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 3 2 3 2 x - 4*x = - x - 4*x - Нет 3 2 3 2 x - 4*x = - -x - -4*x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной