В решении.
Пошаговое объяснение:
1.
а) 14 - 25 = -11;
б) -3,4 - 1,9 = -(3,4 + 1,9) = -5,3;
в) 2,3 - (-6,8) = 2,3 + 6,8 = 9,1;
г) -1/3 - (-5/6) = -1/3 + 5/6 = -(1/3 - 5/6) = -(-3/6) = 3/6 = 1/2.
2.
а) 3,8 + х = 2,3
х = 2,3 - 3,8
х = -1,5;
б) 8,7 - х = -1,1
-х = -1,1 - 8,7
-х = -(1,1 + 8,7)
-х = - 9,8
х = -9,8/-1
х = 9,8;
в) 1/5 - х = -1/3
-х = -1/3 - 1/5
-х = -(1/3 + 1/5)
-х = -8/15
х = -8/15 : -1
х = 8/15.
3.
а) 2,3 - 4,42 = -(4,42 - 2,3) = -2,12;
б) -3/4 - 0,2 = -0,75 - 0,2 = -(0,75 + 0,2) = -0,95;
в) -2 и 7/8 - (-1/6) = -2 и 7/8 + 1/6 = -(2 и 7/8 - 1/6) = -2 и 17/24;
г) 8 и 3/2 - (-4 и 3/8) + (-6 и 1/36) =
= 8 и 3/2 + 4 и 3/8 - 6 и 1/36 =
перевести в неправильные дроби:
= 19/2 + 35/8 - 217/36 =
общий знаменатель 72:
= (19*36 + 35*9 - 217*2)/72 =
= (684 + 315 - 434)/72 =
= 565/72 = 7 и 61/72.
То, что числа a и b дают одинаковые остатки при делении на n можно перефразировать так: a - b делится на n.
Тогда доказать нужно следующее: пусть a - b делится на n. Тогда и a^m - b^ma
m
−b
делится на n.
Для доказательства достаточно заметить, что a^m - b^ma
при всех натуральных m делится на a - b:
a^m - b^m=(a -b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^2+\cdots+ab^{m-2}+b^{m-1})a
=(a−b)(a
m−1
+a
m−2
b+a
m−3
b
2
+⋯+ab
+b
)
а) 5 = -1 (mod 6)
Остаток такой же, что и у (-1)^114, т.е. 1
б) 3^129 = 3 * 9^64
9 = 1 (mod 8)
Остаток такой же, что и у 3 * 1^64, т.е. 3
В решении.
Пошаговое объяснение:
1.
а) 14 - 25 = -11;
б) -3,4 - 1,9 = -(3,4 + 1,9) = -5,3;
в) 2,3 - (-6,8) = 2,3 + 6,8 = 9,1;
г) -1/3 - (-5/6) = -1/3 + 5/6 = -(1/3 - 5/6) = -(-3/6) = 3/6 = 1/2.
2.
а) 3,8 + х = 2,3
х = 2,3 - 3,8
х = -1,5;
б) 8,7 - х = -1,1
-х = -1,1 - 8,7
-х = -(1,1 + 8,7)
-х = - 9,8
х = -9,8/-1
х = 9,8;
в) 1/5 - х = -1/3
-х = -1/3 - 1/5
-х = -(1/3 + 1/5)
-х = -8/15
х = -8/15 : -1
х = 8/15.
3.
а) 2,3 - 4,42 = -(4,42 - 2,3) = -2,12;
б) -3/4 - 0,2 = -0,75 - 0,2 = -(0,75 + 0,2) = -0,95;
в) -2 и 7/8 - (-1/6) = -2 и 7/8 + 1/6 = -(2 и 7/8 - 1/6) = -2 и 17/24;
г) 8 и 3/2 - (-4 и 3/8) + (-6 и 1/36) =
= 8 и 3/2 + 4 и 3/8 - 6 и 1/36 =
перевести в неправильные дроби:
= 19/2 + 35/8 - 217/36 =
общий знаменатель 72:
= (19*36 + 35*9 - 217*2)/72 =
= (684 + 315 - 434)/72 =
= 565/72 = 7 и 61/72.
То, что числа a и b дают одинаковые остатки при делении на n можно перефразировать так: a - b делится на n.
Тогда доказать нужно следующее: пусть a - b делится на n. Тогда и a^m - b^ma
m
−b
m
делится на n.
Для доказательства достаточно заметить, что a^m - b^ma
m
−b
m
при всех натуральных m делится на a - b:
a^m - b^m=(a -b)(a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^2+\cdots+ab^{m-2}+b^{m-1})a
m
−b
m
=(a−b)(a
m−1
+a
m−2
b+a
m−3
b
2
+⋯+ab
m−2
+b
m−1
)
а) 5 = -1 (mod 6)
Остаток такой же, что и у (-1)^114, т.е. 1
б) 3^129 = 3 * 9^64
9 = 1 (mod 8)
Остаток такой же, что и у 3 * 1^64, т.е. 3