1. Пусть , . Заметим, что и монотонно убывают, значит, функция монотонная, следовательно, имеет не более одного корня. Из этого следует, что у уравнения не более двух корней.
2. Заметим, что если является решением, то тоже. Очевидно, что является осью симметрии (причем единственной) графика . Иначе говоря, пара исчерпывает все решения указанного уравнения, если таковые имеются. Значит, достаточно потребовать, чтобы . Итак, пробегает область значения рассматриваемой функции, кроме того , которому соответствует (это ).
3. Функция непрерывна, поэтому достаточно посмотреть на наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее значение достигается в 0 (то есть значение , а наибольшее в . Получаем ответ:
Решаем, как обычное квадратное уравнение. D = (3a-1)^2 - 4*1(-(a+1)) = 9a^2-6a+1+4a+4 = 9a^2-2a+5 Этот дискриминант сам корней не имеет, то есть > 0 при любом а. x1 = (3a-1-√(9a^2-2a+5))/2 x2 = (3a-1+√(9a^2-2a+5))/2 Теперь нужно проверить, что оба корня по модулю больше 1. Очевидно, что x2 > x1. Возможно 3 варианта.
1) Оба корня меньше -1. Достаточно проверить x2. (3a-1+√(9a^2-2a+5))/2 < -1 3a-1+√(9a^2-2a+5) < -2 √(9a^2-2a+5) < -3a-1 Корень арифметический, поэтому -3a-1 > 0; 3a+1 < 0; a < -1/3 9a^2-2a+5 < (-3a-1)^2 9a^2-2a+5 < 9a^2+6a+1 4 < 8a; a > 1/2. Но a < -1/3, поэтому решений нет.
2) Оба корня больше 1. Достаточно проверить x1. (3a-1-√(9a^2-2a+5))/2 > 1 3a-1-√(9a^2-2a+5) > 2 3a-3 > √(9a^2-2a+5) Корень арифметический, поэтому 3a-3 > 0; a-1 > 0; a > 1 9a^2-18a+9 > 9a^2-2a+5 4 > 16a; a < 1/4 Но a > 1, поэтому решений нет.
3) Один корень меньше -1, другой больше 1. x1 < x2, поэтому { (3a-1-√(9a^2-2a+5))/2 < -1 { (3a-1+√(9a^2-2a+5))/2 > 1 Умножаем на 2 { 3a-1-√(9a^2-2a+5) < -2 { 3a-1+√(9a^2-2a+5) > 2 Переносим корни отдельно { 3a-1+2 < √(9a^2-2a+5) { √(9a^2-2a+5) > 2-3a+1 Корни арифметические, поэтому: а) Если 3a+1 < 0, то есть a < -1/3, то 1 неравенство верно всегда. б) Если 3a+1 >=0, то a >= -1/3 в) Если 3-3a < 0, то есть а > 1, то 2 неравенство верно всегда. г) Если 3-3а >= 0, то а <= 1. Возводим всё в квадрат { 9a^2+6a+1 < 9a^2-2a+5 { 9a^2-2a+5 > 9-18a+9a^2 Приводим подобные { 8a < 4; a < 1/2 при а >= -1/3 { -4 > -16a; a > 1/4 при а <= 1 ответ: а принадлежит (1/4; 1/2)
1. Пусть
, 
. Заметим, что 
и 
монотонно убывают, значит, 
функция монотонная, следовательно, имеет не более одного корня. Из этого следует, что у уравнения 
не более двух корней.
2. Заметим, что если
является решением, то 
тоже. Очевидно, что 
является осью симметрии (причем единственной) графика 
. Иначе говоря, пара 
исчерпывает все решения указанного уравнения, если таковые имеются. Значит, достаточно потребовать, чтобы 
. Итак, 
пробегает область значения рассматриваемой функции, кроме того 
, которому соответствует 
(это 
).
3. Функция непрерывна, поэтому достаточно посмотреть на наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее значение достигается в 0 (то есть значение
, а наибольшее в 
. Получаем ответ: 
D = (3a-1)^2 - 4*1(-(a+1)) = 9a^2-6a+1+4a+4 = 9a^2-2a+5
Этот дискриминант сам корней не имеет, то есть > 0 при любом а.
x1 = (3a-1-√(9a^2-2a+5))/2
x2 = (3a-1+√(9a^2-2a+5))/2
Теперь нужно проверить, что оба корня по модулю больше 1.
Очевидно, что x2 > x1. Возможно 3 варианта.
1) Оба корня меньше -1. Достаточно проверить x2.
(3a-1+√(9a^2-2a+5))/2 < -1
3a-1+√(9a^2-2a+5) < -2
√(9a^2-2a+5) < -3a-1
Корень арифметический, поэтому
-3a-1 > 0; 3a+1 < 0; a < -1/3
9a^2-2a+5 < (-3a-1)^2
9a^2-2a+5 < 9a^2+6a+1
4 < 8a; a > 1/2.
Но a < -1/3, поэтому решений нет.
2) Оба корня больше 1. Достаточно проверить x1.
(3a-1-√(9a^2-2a+5))/2 > 1
3a-1-√(9a^2-2a+5) > 2
3a-3 > √(9a^2-2a+5)
Корень арифметический, поэтому
3a-3 > 0; a-1 > 0; a > 1
9a^2-18a+9 > 9a^2-2a+5
4 > 16a; a < 1/4
Но a > 1, поэтому решений нет.
3) Один корень меньше -1, другой больше 1. x1 < x2, поэтому
{ (3a-1-√(9a^2-2a+5))/2 < -1
{ (3a-1+√(9a^2-2a+5))/2 > 1
Умножаем на 2
{ 3a-1-√(9a^2-2a+5) < -2
{ 3a-1+√(9a^2-2a+5) > 2
Переносим корни отдельно
{ 3a-1+2 < √(9a^2-2a+5)
{ √(9a^2-2a+5) > 2-3a+1
Корни арифметические, поэтому:
а) Если 3a+1 < 0, то есть a < -1/3, то 1 неравенство верно всегда.
б) Если 3a+1 >=0, то a >= -1/3
в) Если 3-3a < 0, то есть а > 1, то 2 неравенство верно всегда.
г) Если 3-3а >= 0, то а <= 1.
Возводим всё в квадрат
{ 9a^2+6a+1 < 9a^2-2a+5
{ 9a^2-2a+5 > 9-18a+9a^2
Приводим подобные
{ 8a < 4; a < 1/2 при а >= -1/3
{ -4 > -16a; a > 1/4 при а <= 1
ответ: а принадлежит (1/4; 1/2)