Л е м м а: Пусть -- сумма цифр числа . Тогда , если длина не превосходит . Иными словами сумма цифр числа, состоящего из девяток, не меняется при умножении на достаточно короткое число.
Д о к а з а т е л ь с т в о достаточно механическое: просто записываем число как , а разность считаем в столбик, учитывая перенос единицы.
Теперь пусть дано число . Возьмем число , тогда его частное с первым числом равно . Умножим в таком случае на . Длина числа меньше для всех , кроме (что представляет собой тривиальный случай), потому по лемме .
. Известно, что математик не знает русского, физик - английского, историк - французского (он говорит по-русски, но никто не говорит и на русском, и на французском).
2. Физик служит переводчиком в беседах историка и биолога (он владеет такими двумя языками, про которые известно, что историк владеет только одним из них, а биолог - только другим). Так как историк и биолог не владеют общим языком, то, следовательно, биолог не знает русского языка. Значит, русский - общий язык для физика и историка; физик не владеет французским (он говорит по-русски, но никто не говорит ни на русском, ни на французском). Второй язык физика - итальянский; итальянским владеет и биолог, историк итальянским не владеет. Тогда второй язык историк - английский, а биолог английским не владеет. Значит второй язык биолога - французский.
3. Историк может беседовать с математиком, хотя тот не знает русского. Следовательно, математик владеет английским
4. Так как только трое ученых знаю один и тот же язык, то этот язык - итальянский.
Л е м м а: Пусть
-- сумма цифр числа 
. Тогда 
, если длина 
не превосходит 
. Иными словами сумма цифр числа, состоящего из девяток, не меняется при умножении на достаточно короткое число.
Д о к а з а т е л ь с т в о достаточно механическое: просто записываем число
как 
, а разность 
считаем в столбик, учитывая перенос единицы.
Теперь пусть дано число
. Возьмем число 
, тогда его частное с первым числом равно 
. Умножим в таком случае 
на 
. Длина числа 
меньше 
для всех 
, кроме 
(что представляет собой тривиальный случай), потому по лемме ![\left[\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n\right]\div \underbrace{11\ldots1}_{n} = 9n = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}) = S(\underbrace{99\ldots9}_{n}\cdot n)](/tpl/images/4768/2810/100d4.png)
.
. Известно, что математик не знает русского, физик - английского, историк - французского (он говорит по-русски, но никто не говорит и на русском, и на французском).
2. Физик служит переводчиком в беседах историка и биолога (он владеет такими двумя языками, про которые известно, что историк владеет только одним из них, а биолог - только другим). Так как историк и биолог не владеют общим языком, то, следовательно, биолог не знает русского языка. Значит, русский - общий язык для физика и историка; физик не владеет французским (он говорит по-русски, но никто не говорит ни на русском, ни на французском). Второй язык физика - итальянский; итальянским владеет и биолог, историк итальянским не владеет. Тогда второй язык историк - английский, а биолог английским не владеет. Значит второй язык биолога - французский.
3. Историк может беседовать с математиком, хотя тот не знает русского. Следовательно, математик владеет английским
4. Так как только трое ученых знаю один и тот же язык, то этот язык - итальянский.
Математик владеет английским и итальянским;
Биолог - французским и итальянским;
Физик - русским и итальянским;
Историк - русским и английским