Войти Регистрация Спроси ai-bota

Знайти подвійний інтеграл по області D, обмеженій вказаними лініями: , , y=

Показать ответ

Ответ:

alinasharifulli

12.10.2020 05:42

В ході вирішення виходить дві області D. Для зручності знаходження інтегралів, висловимо всі графіки через змінну x.

$\displaystyle I_1=\int\limits_{D_1}xlnydxdy=\int\limits^2_1lnydy\int\limits^{\sqrt{y}}_{\frac{1}{y}}xdx=\\=\int\limits^2_1lny*dy*(\frac{x^2}{2})|^{\sqrt{y}}_{\frac{1}{y}}=\int\limits^2_1lny(\frac{y}{2}-\frac{1}{2y^2})dy=\\=\int\limits^2_1(\frac{ylny}{2}-\frac{lny}{2y^2})dy=(\frac{y^2}{4}lny-\frac{y^2}{8}+\frac{lny}{2y}+\frac{1}{2y})|^2_1=\\=ln2-\frac{1}{2}+\frac{ln2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}ln2-\frac{5}{8}=\frac{5}{8}(2ln2-1)$

$\displaystyle\int ylnydy=\frac{y^2}{2}lny-\frac{1}{2}\int ydy=\frac{y^2}{2}lny-\frac{y^2}{4}\\u=lny;du=\frac{dy}{y}\\dv=ydy;v=\frac{y^2}{2}\\\\\int\frac{lny}{y^2}=-\frac{lny}{y}+\int\frac{dy}{y^2}=-\frac{lny}{y}-\frac{1}{y}\\\\u=lny;du=\frac{dy}{y}\\dv=\frac{dy}{y^2};v=-\frac{1}{y}$

$\displaystyle I_2=\int\limits_{D_{21}}xlnydxdy+\int\limits_{D_{22}}xlnydxdy=\\=\int\limits^2_1lnydy\int\limits^{\frac{1}{y}}_{-\sqrt y}xdx+(\int\limits^1_0lnydy\int\limits^{\sqrt y}_{-\sqrt y}xdx)_{\to 0}=\int\limits^2_1lnydy*\frac{x^2}{2}|^\frac{1}{y}_{-\sqrt y}=\\=\int\limits^2_1lnydy*(\frac{1}{2y^2}-\frac{y}{2})=-\int\limits^2_1lnydy*(\frac{y}{2}-\frac{1}{2y^2})=\frac{5}{8}(1-2ln2)$

Графік областей D в додатку

Знайти подвійний інтеграл по області D, обмеженій вказаними лініями: , , y=

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

парацетомол1

09.10.2020 04:30

2 7\10•1 4\5 решитеее паж...

koshka26

01.10.2021 10:22

Амалдарды орындандар (640, 641): 1 2 1640. 1) 33 3 51) з1 5 23) 3. — :5 8165) 4. • 28 112)24:6;1 14) 26:34 161 3 36) 17 4 10 ПАМАГИТЕ...

romakereshev

06.11.2021 06:55

На осі ординат знайдіть точку, рівновіддалену від точок A(3;2) N(7;6)...

kirik2017

03.11.2022 23:54

Математика 4 класс стр 92 задание 5...

elleonoel

27.12.2021 11:54

5, CENT,DX PART11单YCE)。23100-274-376-727-33(1) 194,144...

lebedko2004

06.08.2022 10:10

напишите слейдущие дроби в порядке возврастания 1/4 7/5 25/25 1/2 1/8 7/8...

maria22890

16.07.2022 04:10

838. Выполните действия: 1) 668 - (3076 + 5081);2) 783 . (66 161 — 65 752);3) 2 111 022 : (5960 – 5646);4) 2 045 639 : (6700 – 6279). можете фото отправить и в тетрадь написать...

Школа5101

20.08.2021 10:39

Что такое НОК и НОД по математике?...

eva0056

18.02.2020 22:44

Bели шаБалаларқалсаmaggiumingusіbrotheboro sиSeguidagizes queчаt a buдараа дараа да, ал, бала .3-5 С) 4 0 -Al-344неSuratorоруа она...

zabirovrobert

07.04.2023 09:14

А) Один грузовик перевёз 150 тщебня, а другой – такой же грузоподъёмности 100 т. Сколько рейсов сделал каждыйиз них, если первый сделал на 2 рейса больше второго?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку