Как называются это формулы, для чего они? ​

Невежлив.
Мы видим краткое прилагательное "вежлив" с частицей "не". Слитно напишем, если:Слово "невежлив" можно в предложении заменить на один из его синонимов без "не". После такой замены смысл не должен меняться.
Не вежлив
Если в предложении мы найдём противопоставление двух смыслов (между двумя противоставленными словами будет союз в значении "а"), то написание изменится на раздельное.
Раздельное написание применится и при наличии в предложении перед "вежлив" слов "далеко не", "ничуть не" и подобных.

Как-то летом мы с моей семьёй в первый раз поехали на море. когда мы поднимались в гору, я испытал неописуемый восторг. мне открывался чудесный вид на набережную, уходящую далеко в горизонт. через час мы уже заселялись в отель и я была очень рада отдохнуть после такой длинной поездки. после полудня мы пошли на пляж, но там я впервые за время этой поездки испытала сильное огорчение: нигде не было свободных мест... нам пришлось занять места дальше от моря, где было свободнее. переодевшись я отправилась поплавать, и наконец расслабилась. море было теплым, а вода мягкой и спокойной. через 15 минут купания я вышла на берег и пошла к нашему месту. там родители уже купили сладостей и фруктов. немного перекусив я отправилась загорать. отдохнув на пляже, мы отправились назад в наш номер. никогда я ещё не испытывала таких прекрасных эмоций!
Можешь исправить кое-что, или добавить