Какими могут быть морфологические признаки?

Всё зависит от части речи, но сначала морфологические признаки делятся: на постоянные признаки и на непостоянные признаки.

У существительных:
Постоянные признаки: 
-собственное или нарицательное
-одушевленное или неодушевленное
-род
-склонение
Непостоянные признаки:
-падеж
-число

У прилагательных:
Постоянные признаки:
-качественное, относительное, или притяжательное
Непостоянные признаки:
*у качественных:
-степень сравнения
-краткая или полная форма
*у всех прилагательных:
-падеж
-число
-род (в ед. ч.)

У числительных:
Постоянные признаки:
-простое или составное
-количественное или порядковое
Непостоянные признаки:
-падеж
-число (если есть)
-род (если есть)

У местоимений:
Постоянные признаки:
-разряд
-лицо (если есть)
Непостоянные признаки:
-падеж
-число (если есть)
-род (если есть)

У глаголов:
Постоянные признаки:
-вид
-переходность
-спряжение
Непостоянные признаки:
-наклонение
-число
-время (если есть)
-лицо (если есть)
- род (если есть)

У причастий:
Постоянные признаки:
-действительное или страдательное
-время
-вид
Непостоянные признаки:
-полная или краткая форма (у страдательных причастий)
-падеж (у причастий полной формы)
-число
-род

У деепричастий:
Морфологические признаки (у деепричастий признаки не делятся на постоянные или непостоянные):
-неизменяемость
-вид

У наречий:
Морфологические признаки (у наречий признаки не делятся на постоянные или непостоянные):
-неизменяемое слово
-степень сравнения (если есть)

У категории состояния:
Морфологические признаки (у категории состояния признаки не делятся на постоянные или непостоянные):
-неизменяемость