Морфологический разбор деепричастия слово проснувшись

Когда? - обозначает добавочное действие и признак действия - деепричастие, особая форма глагола.

Начальная форма - проснуться.

Морфологические признаки - совершенного вида, возвратное, не изменяется, непостоянных признаков нет.

Синтаксическая роль - скорее всего, обстоятельство времени.