Правильно ли писать в течение недели? почему?

Написание в течение недели - правильное.

Написание будет понятнее, например, в таком варианте: "в течение этого часа я закончу работу". Этот фразеологизм исторически представляет собой форму винительного падежа слова "течение". В (кого? что?) течение. 

Сейчас этот фразеологизм используется в функции предлога, который не нужно путать с сочетанием существительного течение в предложном падеже с предлогом "в". Например: "В течении реки есть что-то успокаивающее".