Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n − 1 b + ⋯ + ( n k ) a n − k b k + ⋯ + ( n n ) b n (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n где ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! = C n k {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}= C_n^k — биномиальные коэффициенты, n n — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число.
Решаем полное квадратное уравнение x^2 - 5x + 6 = 0 с нахождения дискриминанта.
Вспомним формулу для нахождения дискриминанта:
D = b^2 - 4ac;
Найдем дискриминант для заданного уравнения.
D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1;
Дискриминант найден перейдем к нахождению корней.
x1 = (-b + √D)/2a = (5 + √1)/2 * 1 = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3;
x2 = (-b - √D)/2a = (5 - √1)/2 * 1 = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2;
Корни найдены. Сделаем проверку:
1) 3^2 - 5 * 3 + 6 = 0;
9 - 15 + 6 = 0;
0 = 0;
2) 2^2 - 5 * 2 + 6 = 0;
4 - 10 + 6 = 0;
0 = 0.
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
=
(
n
0
)
a
n
+
(
n
1
)
a
n
−
1
b
+
⋯
+
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
+
⋯
+
(
n
n
)
b
n
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n
где
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
=
C
n
k
{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}= C_n^k — биномиальные коэффициенты,
n
n — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число.