1) 2cos²x+5cosx-7=0 Пусть cosx=t ( |t|≤1),тогда имеем 2t²+5t-7=0 b=5;a=2;c=-7 D=b²-4ac=5²-4*2*(-7)=25+56=81;√D=9 t1=(-b+√D)/2a=(-5+9)/2*2=1 t2=(-b-√D)/2a=(-5-9)/2*2=-3.5 - не удовлетворяет условию при |t|≤1 Вернёмся к замене cosx=1 x=2πn, n ∈ Z
2) cos6x-cos2x=0 Здесь мы от разности перейдём в добуток 2sin( (6x-2x)/2 ) * sin( (6x+2x)/2 )=0 2sin2x*sin4x=0 sin2x=0 sin4x=0 2x=πk, k ∈ Z 4x=πk, k ∈ Z x=πk/2, k ∈ Z x=πk/4, k ∈ Z
3) 2cos²x+3sinx-3=0 Упростим выражение 2(1-sin²x)+3sinx-3=0 2-2sin²x+3sinx-3=0 -2sin²x+3sinx-1=0 |*(-1) 2sin²x-3sinx+1-0 Пусть sinx = t ( |t|≤1 ),тогда имеем 2t²-3t+1=0 a=2;b=-3;c=1 D=b²-4ac=(-3)²-4*2*1=9-8=1 t1=(-b+√D)/2a=(3+1)/2*2=1 t2=(-b-√D)/2a=(3-1)/2*2=1/2 Вернёмся к замене sinx=1 x=π/2+2πn, n ∈ Z
Пусть cosx=t ( |t|≤1),тогда имеем
2t²+5t-7=0
b=5;a=2;c=-7
D=b²-4ac=5²-4*2*(-7)=25+56=81;√D=9
t1=(-b+√D)/2a=(-5+9)/2*2=1
t2=(-b-√D)/2a=(-5-9)/2*2=-3.5 - не удовлетворяет условию при |t|≤1
Вернёмся к замене
cosx=1
x=2πn, n ∈ Z
2) cos6x-cos2x=0
Здесь мы от разности перейдём в добуток
2sin( (6x-2x)/2 ) * sin( (6x+2x)/2 )=0
2sin2x*sin4x=0
sin2x=0 sin4x=0
2x=πk, k ∈ Z 4x=πk, k ∈ Z
x=πk/2, k ∈ Z x=πk/4, k ∈ Z
3) 2cos²x+3sinx-3=0
Упростим выражение
2(1-sin²x)+3sinx-3=0
2-2sin²x+3sinx-3=0
-2sin²x+3sinx-1=0 |*(-1)
2sin²x-3sinx+1-0
Пусть sinx = t ( |t|≤1 ),тогда имеем
2t²-3t+1=0
a=2;b=-3;c=1
D=b²-4ac=(-3)²-4*2*1=9-8=1
t1=(-b+√D)/2a=(3+1)/2*2=1
t2=(-b-√D)/2a=(3-1)/2*2=1/2
Вернёмся к замене
sinx=1
x=π/2+2πn, n ∈ Z