1) Угол, под которым кривая пересекает ось абсцисс, есть угол наклона касательной, проведённой к графику функции в точке пересечения, к оси абсцисс. Решая уравнение y=0, находим x=1 - абсцисса точки пересечения кривой с осью абсцисс. Сама точка пересечения имеет координаты (1;0). Пусть α - искомый угол, тогда tg(α)=y'(x0), где x0=1 - абсцисса точки пересечения кривой с осью абсцисс. Находим производную: y'(x)=(-x²+2*x+1)/(1+x²)². Отсюда y'(x0)=y'(1)=1/2. Тогда α=arctg(1/2)≈26,6°.
2) Пусть M(x0;y0) - искомая точка. Перепишем уравнение прямой в виде y=1/3*x+5/6. Отсюда следует, что угловой коэффициент этой прямой k1=1/3. Пусть k2 - угловой коэффициент касательной. Так как по условию она перпендикулярна данной прямой, то k2=-1/k1=-3. Но k2=y'(x0). Находим производную: y'=2*x, тогда y'(x0)=2*x0 и отсюда следует уравнение 2*x0=k2=-3. Решая его, находим x0=-3/2, а тогда y0=x0²=9/4. Таким образом, точка М найдена.
ответ: 1) α=arctg(1/2)≈-26,6°. 2) M(-3/2;9/4).
Объяснение:
1) Угол, под которым кривая пересекает ось абсцисс, есть угол наклона касательной, проведённой к графику функции в точке пересечения, к оси абсцисс. Решая уравнение y=0, находим x=1 - абсцисса точки пересечения кривой с осью абсцисс. Сама точка пересечения имеет координаты (1;0). Пусть α - искомый угол, тогда tg(α)=y'(x0), где x0=1 - абсцисса точки пересечения кривой с осью абсцисс. Находим производную: y'(x)=(-x²+2*x+1)/(1+x²)². Отсюда y'(x0)=y'(1)=1/2. Тогда α=arctg(1/2)≈26,6°.
2) Пусть M(x0;y0) - искомая точка. Перепишем уравнение прямой в виде y=1/3*x+5/6. Отсюда следует, что угловой коэффициент этой прямой k1=1/3. Пусть k2 - угловой коэффициент касательной. Так как по условию она перпендикулярна данной прямой, то k2=-1/k1=-3. Но k2=y'(x0). Находим производную: y'=2*x, тогда y'(x0)=2*x0 и отсюда следует уравнение 2*x0=k2=-3. Решая его, находим x0=-3/2, а тогда y0=x0²=9/4. Таким образом, точка М найдена.
1) Находим точку пересечения кривой с осью абсцисс.
х - 0 = 0, отсюда х = 1.
Производная заданной функции y'(x) = (-x²+2*x+1)/(1+x²)².
В точке х = 1 значение производной y'(1) = (1/2).
Угол наклона касательной равен:
α = arc tg(1/2) = 0,464 радиан или 26,565 градуса.
2) Даны парабола y= х² и прямая р: 2x-6y+5=0.
Перпендикуляр к касательной к параболе- это нормаль:
y = (1/y'(x0) - x0) + y0.
Угловой коэффициент такой нормали равен: к = -1/к(р).
У прямой р к(р) = 2/6 = 1/3, тогда к = -1/(1/3) = -3.
Приравниваем -3 = (1/y'(x0), y'(x0) = -3.
Производная функции y = x² равна: y' = 2x.
Приравняем 2х = -3, откуда х = -3/2 а у = (-3/2)² = 9/4.
ответ: точка ((-3/2); (9/4)).