1. Разложите на множители:
12ав-в 2 . 1) в(12+в); 2) в(12а-1); 3) в(12а-в); 4) в•12а.
2. Разложите на множители:
5ух 2 +10у 2 х. 1) 5у(х 2 +2ух); 2) 5ух(1+2у); 3) ух(5х+10у); 4) 5ух(х+2у).
3.Разложите на множители:
5х 3 -7х 4 . 1) х 3 (5-7х); 2) х 2 (5х-7х 2 ); 3) х(5х 2 -7х 3 ); 4) х 3 (5+7х).
4. Разложите на множители:
(х-у)-7в(х-у). 1) -6в(х-у); 2) (х-у)(1-7в); 3)(х-у)(1-7вх+7ву); 4)-7в(х-у).
5. Разложите на множители:
5ху+5у+хв+в. 1) 5ув(х+1); 2) (х+1)(5у+в); 3) 5у(х+1); 4) (х+1)(5у-в).
6.Представьте в виде произведения:
3х 3 у+6х 2 у 2 -3х 3 у 2 . 1) х 2 у(3х+6у-3ху); 2) 3(х 3 у+2х 2 у 2 -х 3 у 2 );
3) х 2 (3ху+2у-ху); 4) 3х 2 у(х+2у-ху).
7. Представьте в виде произведения:
х 2 (1-х)+х(х-1) 2 . 1) х(1+х); 2) х(1-х)(2х-1); 3) х(1-х); 4) х(1-х)(2х+1).
8. Представьте в виде произведения:
3х-ху-3у+у 2 . 1) (х-у)(3-у); 2) (х-у)(3+у); 3) (х+у)(3-у);
4) (х-у)(у-3).
9. Представьте в виде произведения:
5а-5в-ха+хв-в+а. 1) (а-в)(6+х); 2) (а-в)(6-х); 3) (а+в)(6-х); 4) (а+в)(6+х).
10. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена:
в 2 -2а 2 в+а 4 . 1) (в-а 2 ) 2 ; 2) (в 2 -а 4 ) 2 ; 3) (в+а 2 ) 2 ; 4) (в 2 -а 2 ) 2 .
11. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена:
16
4
х 2 -2ху+ 4
16
у 2 . 1) ( 4
2
х+ 2
4
у) 2 ; 2) ( 4
2
х- 2
4
у) 2 ; 3) ( 16
4
х- 4
16
у) 2 ; 4) (х- 2
4
у) 2 .
12.Разложите на множители:
9а 2 -16. 1) (3а+4) 2 ; 2) (3а-4) 2 ; 3) (3а-4)(3а-4); 4) (3а-4)(3а+4).
13.Разложите на множители:
ав 2 -ас 2 . 1) а(в 2 -с 2 ); 2) а(в-с) 2 ; 3) а(в-с)(в+с); 4) а(в+с) 2 .
14. Представьте в виде произведения:
4а 2 +8ав+4в 2 . 1) (а+в) 2 ; 2) 4(а+в)(а-в); 3) 4(а+в) 2 ; 4) 4(а 2 +2ав+в 2 ).
15. Разложите на множители:
а+а 2 -в-в 2 . 1) (а-в)(а+в); 2) (а-в)(1+а+в); 3) (а-в)(1-а-в);
4) (а-в) 2 .
16. Разложите на множители:
(х-7) 2 -81. 1) (х+16)(х+2); 2) (х+16)(х-2); 3) (х-7-9) 2 ; 4) (х-16)(х+2).
17. Решите уравнение:
9у 2 -16=0. 1) 3
4
; 2) - 3
4
; 3) - 3
4
; 3
4
; 4) 9
16
.
Чтобы уравнение имело действительное решение , достаточно чтобы дискриминант был неотрицательным.
D/4 = (a^3-b^3)^2 -(a^2-b^2)*(a^4-b^4)>=0
То есть , необходимо доказать , что при любых a и b справедливо строгое неравенство :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4)
(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)^2>=(a-b)^2* (a+b)^2 * (a^2+b^2)
Заметим , что когда a=b , получаем что 0=0 , то есть условие выполнено. И в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Теперь, поскольку мы разобрали этот случай и (a-b)^2>=0 , то для случая a≠b , можно поделить обе части неравентсва на (a-b)^2 не меняя знак неравенства :
(a^2+ab+b^2)^2>=(a+b)^2*(a^2+b^2)
( a^2+ab+b^2)^2 >= (a^2+2ab+b^2)*(a^2+b^2)
Теперь сделаем слудующий прием , поскольку (a^2+b^2)^2>0 при a≠b≠0
То можно поделить на это выражение обе части неравенства не меняя его знак :
( 1+ ab/(a^2+b^2) )^2>= 1+ 2ab/(a^2+b^2)
Тогда можно сделать замену:
ab/(a^2+b^2)=t
(1+t)^2>=1+2t
t^2+2t+1>=1+2t
t^2>=0 (верно)
Таким образом :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4) , то есть D>=0.
Вывод : уравнение имеет действительное решение при любых действительных а и b.
Что и требовалось доказать.
50 км/ч.
Объяснение:
300 : 3 = 100 (км) - проехал поезд до остановки.
300 - 100 = 200 (км) - проехал поезд после остановки.
Пусть х км/ч - скорость поезда до остановки,
тогда (х - 10) км/ч - скорость поезда после остановки.
Составим уравнение:
100(x - 10) + 200х + х(х - 10) =8х(х - 10)
100х - 1000 + 200х + х² - 10х = 8х² - 80х
8х² - х² + 10х - 80х - 100х - 200х + 1000 = 0
7х² - 370х + 1000 = 0
D = (- 370)² - 4 * 7 * 1000 = 136900 - 28000 = 108900 = 330²
Второй корень не подходит, так как имея такую скорость, поезд не смог бы её сбросить на 10 км/ч.
Значит, скорость поезда до остановки была 50 км/ч.