1) точка движется прямолинейно по закону x(t)=t^2+4t-1. вычислите скорость движения тела через 1с с начала движения.(время измеряется в секундах, координата в метрах) 2) напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=2x^2-3x, проведенной через точку, абсцисса которой равна x0= -1. 3)напишите уравнение касательной, проведенной через точку с абсциссой x0=0 к графику функции f(x)=4x^2-x. 4) найдите тангенс угла наклона касательной, прохожящей через точку а к графику функции f(x): а) f(x)=2x^2+2, a(0; 2) б) f(x)=3x^2-1, a(2; 11) в) f(x)=4x^2+3x a(1; 7) 5) напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0: а) f(x)=4x^2, x0= -1; б) f(x)=3x^2+1, x0=1 в) f(x)=5x^2, x0=1
x'(t)=2t+4=v(t)
v(1)=2+4=6 м/c
2) y=f(a)+f'(a)(x-a)
f(a)=f(x0)=f(-1)=2+3=5
f '(a)=f'(x0)=4x-3=-4-3=-7
y=5-7(x+1)=5-7x-7= -7x-2
3)Аналогично
4) tg a=k= f '(a)
f '(x)=4x
f '(a)=0
f '(x)=6x
f '(a)=12
f '(x)=8x+3
f '(a)=8+3=11
5)f '(x)=8x
f '(a)=-8
y=4-8(x+1)=4-8x-8=-8x-4
f '(x)=6x
f '(a)=6
y=4+6(x-1)=6x-2
f '(x)=10x
f '(a)=10
y=5+10(x-1)
y=5+10x-10=10x-5
1) Чтобы вычислить скорость движения тела через 1 секунду после начала движения, нам нужно найти производную функции x(t) по времени и подставить t = 1.
Итак, у нас есть функция x(t) = t^2 + 4t - 1. Чтобы найти производную, мы возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим их:
dx/dt = d/dt (t^2) + d/dt (4t) + d/dt (-1).
Один из основных правил дифференцирования гласит, что производная степенной функции t^n равна n * t^(n-1). Применяя это правило, найдем производные слагаемых:
dx/dt = 2t^1 + 4 + 0.
Упрощаем выражение:
dx/dt = 2t + 4.
Теперь мы можем вычислить скорость движения тела через 1 секунду:
v(1) = dx/dt | t=1 = 2(1) + 4 = 2 + 4 = 6 м/с.
Ответ: Скорость движения тела через 1 секунду после начала движения составляет 6 м/с.
2) Чтобы написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x^2 - 3x, проведенной через точку с абсциссой x0 = -1, нам нужно найти производную f'(x) и подставить x = x0.
Производная f'(x) функции f(x) равна:
f'(x) = d/dx(2x^2) - d/dx(3x) = 4x - 3.
Теперь мы можем найти значение производной в точке x = x0:
f'(-1) = 4(-1) - 3 = -4 - 3 = -7.
Касательная имеет угловой коэффициент, который равен значению производной в данной точке. То есть, уравнение касательной принимает вид y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент, (x0, y0) - координаты точки.
Подставляя значения, получаем:
y - y0 = -7(x - x0).
В данной задаче y0 неизвестно, но мы знаем, что x0 = -1. Подставим это значение и упростим:
y - y0 = -7(x + 1).
Ответ: Уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x^2 - 3x, проведенной через точку с абсциссой x0 = -1, имеет вид y - y0 = -7(x + 1).
3) Чтобы написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 4x^2 - x, проведенной через точку с абсциссой x0 = 0, мы будем использовать тот же метод, что и в предыдущем вопросе.
Производная f'(x) функции f(x) равна:
f'(x) = d/dx(4x^2) - d/dx(x) = 8x - 1.
Теперь мы можем найти значение производной в точке x = x0:
f'(0) = 8(0) - 1 = 0 - 1 = -1.
Уравнение касательной примет вид y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент, (x0, y0) - координаты точки.
В данной задаче x0 = 0. Подставим это значение и упростим:
y - y0 = -1(x - 0).
Ответ: Уравнение касательной к графику функции f(x) = 4x^2 - x, проведенной через точку с абсциссой x0 = 0, имеет вид y - y0 = -x.
4) Чтобы найти тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку а и график функции f(x), нам нужно сначала найти значение производной f'(x) в данной точке и использовать его для определения углового коэффициента.
а) Для функции f(x) = 2x^2 + 2 и точки a(0, 2):
Найдем производную f'(x) функции f(x):
f'(x) = d/dx(2x^2) + d/dx(2) = 4x + 0 = 4x.
Теперь найдем значение производной в точке a:
f'(0) = 4(0) = 0.
Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в данной точке. В данном случае тангенс равен 0.
Ответ: Тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку a(0, 2) и график функции f(x) = 2x^2 + 2, равен 0.
б) Для функции f(x) = 3x^2 - 1 и точки a(2, 11):
Найдем производную f'(x) функции f(x):
f'(x) = d/dx(3x^2) - d/dx(1) = 6x + 0 = 6x.
Теперь найдем значение производной в точке a:
f'(2) = 6(2) = 12.
Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в данной точке. В данном случае тангенс равен 12.
Ответ: Тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку a(2, 11) и график функции f(x) = 3x^2 - 1, равен 12.
в) Для функции f(x) = 4x^2 + 3x и точки a(1, 7):
Найдем производную f'(x) функции f(x):
f'(x) = d/dx(4x^2) + d/dx(3x) = 8x + 3.
Теперь найдем значение производной в точке a:
f'(1) = 8(1) + 3 = 8 + 3 = 11.
Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в данной точке. В данном случае тангенс равен 11.
Ответ: Тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку a(1, 7) и график функции f(x) = 4x^2 + 3x, равен 11.
5) Чтобы написать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в заданной точке x0, нам нужно найти производную функции f'(x) и подставить x = x0.
а) Для функции f(x) = 4x^2 и точки x0 = -1:
Найдем производную f'(x) функции f(x):
f'(x) = d/dx(4x^2) = 8x.
Теперь найдем значение производной в точке x0:
f'(-1) = 8(-1) = -8.
Уравнение касательной примет вид y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент, (x0, y0) - координаты точки.
В данном случае x0 = -1. Подставим это значение и упростим:
y - y0 = -8(x - (-1)).
Ответ: Уравнение касательной к графику функции y = 4x^2 в точке x0 = -1 имеет вид y - y0 = -8(x + 1).
б) Для функции f(x) = 3x^2 + 1 и точки x0 = 1:
Найдем производную f'(x) функции f(x):
f'(x) = d/dx(3x^2) + d/dx(1) = 6x + 0 = 6x.
Теперь найдем значение производной в точке x0:
f'(1) = 6(1) = 6.
Уравнение касательной примет вид y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент, (x0, y0) - координаты точки.
В данном случае x0 = 1. Подставим это значение и упростим:
y - y0 = 6(x - 1).
Ответ: Уравнение касательной к графику функции y = 3x^2 + 1 в точке x0 = 1 имеет вид y - y0 = 6(x - 1).
в) Для функции f(x) = 5x^2 и точки x0 = 1:
Найдем производную f'(x) функции f(x):
f'(x) = d/dx(5x^2) = 10x.
Теперь найдем значение производной в точке x0:
f'(1) = 10(1) = 10.
Уравнение касательной примет вид y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент, (x0, y0) - координаты точки.
В данном случае x0 = 1. Подставим это значение и упростим:
y - y0 = 10(x - 1).
Ответ: Уравнение касательной к графику функции y = 5x^2 в точке x0 = 1 имеет вид y - y0 = 10(x - 1).
Я надеюсь, что этот подробный ответ помог тебе разобраться в задачах! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их. Я всегда готов помочь!