1) У саду росло 324 дерева, з яких 36% становили яблуні. Скільки яблунь росте в саду?
2) Маса солі становить 24% маси розчину. Скільки кілограмів розчину треба взяти щоб він містив 96 кг солі?
3) У 100 грамах чорної смородини міститься приблизно 250 міліграм вітаміну C визначте вміст вітаміну C в грамах на 1 кілограм чорної смородини?
4) Учень 6 класу за 5 днів з'їдає 1 кг яблук. Скільки днів йому буде потрібно, щоб з'їсти 300 кг яблук, що достигли у нього в саду за літо? Скільки друзів йому треба покликати на підмогу, щоб за 100 днів з'їсти весь урожай?
5) Із 140 кг свіжих вишень отримують 21 кг сушених. Скільки вийде сушених вишень і 160 кг свіжих? Скільки треба взяти свіжих вишень, щоб отримати 31, 5 кг сушених?
6) Щоб засіяти 5 га поля, витратили 8,2 центнера зерна. Скільки центнерів зерна потрібно витратити, щоб засіяти 22,5 га поля?
9 клас

4. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение (вариационный ряд). Гистограмма. Полигон частот.

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов распределения и числовых характеристик по результатам эксперимента.

Генеральная совокупность – это множество всех мыслимых значений наблюдений (объектов), однородных относительно некоторого признака, которые смогли быть сделаны.

Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) для непосредственного изучения из генеральной совокупности.

Статистическое распределение – это совокупность вариант xi и соответствующих им частот ni.

Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных га оной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине класса, а высота равна или частоте попадания в интервал ni или относительной частоте ni/n. Ширину интервала i можно определить по формуле Стерджеса:

I=(xmax-xmin)/(1+3,32lgn),

Где xmax – максимальное; xmin – минимальное значение вариант, а их разность носит название вариационный размах; n – объем выборки.

Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами xi, ni.

5. Характеристики положения (мода, медиана, выборочное среднее) и рассеяния (выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение).

Мода (Мо) – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним значения имеют меньшие частоты встречаемости.

Для одномодальных распределений мода – это наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.

Для определения моды интервальных рядов служит формула:

M0=xниж+i*((n2-n1)/(2n2-n1+n3)),

где хниж – нижняя граница модального класса, т.е. класса с наибольшей частотой встречаемости n2; n2 – частота модального класса; n1 – частота класса, предшествующего модальному; n3 – частота класса, следующего за модальным; i – ширина классового интервала.

Медиана (Ме)- это значение признака. Относительно которого ряд распределения делится на 2 равные по объему части.

Выборочная средняя – это среднее арифметическое значение вариант статистического ряда

Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их среднего значения:

Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из выборочной дисперсии:

Sв=√(Sв2)

6. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке (точечная и интервальная). Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Числовые значения, характеризующие генеральную совокупность, называются параметрами.

Статистическое оценивание может выполняться двумя :

1)точечная оценка – оценка, которая дается для некоторой определенной точки;

2)интервальная оценка – по данным выборки оценивается интервал, в котором лежит истинное значение с заданной вероятностью.

Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке.

Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности.

Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.

Точечную оценку называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру при любом объеме выборки.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя в:

в=ini,

где xi – варианты выборки; ni – частота встречаемости вариант xi; n – объем выборки.

Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительная вероятность p – это такая вероятность, что событие вероятности (1-р) можно считать невозможным. α=1-р – это уровень значимости. Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это р≥0,95, р≥0,99, р≥0,999.

Для выборки малого объема (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:

в-mt≤≤в+mt (р≥0,95),

+где – генеральное среднее;в – выборочное среднее; t – нормированный показатель распределения Стьюдента с(n-1) степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в данный интервал; m – ошибка выборочной средней.

Объяснение:

а)

6x {}^{2} + x - 7 = 06x2+x−7=0

D = 1 {}^{2} - 4 \times 6 \times ( - 7) = 1 + 168 = 169D=12−4×6×(−7)=1+168=169

\begin{gathered}x1 = \frac{ - 1 + \sqrt{169} }{2 \times 6} = \frac{ - 1 + 13}{12} = \frac{12}{12} = 1 \\ x2 = \frac{ - 1 - \sqrt{169} }{2 \times 6} = \frac{ - 1 - 13}{12} = \frac{ - 14}{12} = - \frac{7}{6} \end{gathered}

Объяснение:

x1=2×6−1+169=12−1+13=1212=1x2=2×6−1−169=12−1−13=12−14=−67

имеется 2 корня

otvet:x1 = 1x2 = - \frac{7}{6}otvet:x1=1        x2=−67

б)

x {}^{2} - 6x + 2 = 0x2−6x+2=0

D = (- 6) {}^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 36 - 8 = 28D=(−6)2−4×1×2=36−8=28

x1 = \frac{ - ( - 6) + \sqrt{28} }{2 \times 1} = \frac{6 + 2 \sqrt{7} }{2} = \frac{2(3 + \sqrt{7)} }{2} = 3 + \sqrt{7}x1=2×1−(−6)+28=26+27=22(3+7)=3+7

x2 = \frac{ - ( - 6) - \sqrt{28} }{2 \times 1} = \frac{6 - 2 \sqrt{7} }{2} = \frac{2(3 - \sqrt{7)} }{2} = 3 - \sqrt{7}x2=2×1−(−6)−28=26−27=22(3−7)=3−7

имеется 2 корня

otvet:x1 = 3 + \sqrt{7} x2 = 3 - \sqrt{7}otvet:x1=3+7        x2=3−7