1 вариант Укажите номера верных утверждений: 1. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 2. Существует квадрат, который не является ромбом. 3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 4. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. 5. Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°. 6. Диагонали квадрата делят его углы пополам. 7. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. 8. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. 9. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб. 10. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°. 11. Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°. 12. Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. 13. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. 14. Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10. 15. Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10. 16. Если диагонали ромба равны 3 и 4, то его площадь равна 6. 17. Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту. 18. Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов. 19. Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат. 20. Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований. 21. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 22. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат. 23. Диагонали прямоугольника равны. 24. У любой трапеции боковые стороны равны. 25.Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 26. Диагонали ромба перпендикулярны. 2 вариант Укажите номера верных утверждений: 1. Диагонали квадрата делят его углы пополам. 2. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. 3. Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов. 4. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. 5. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат. 6. Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10. 7.Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 8. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 9. Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований. 10. Если диагонали ромба равны 3 и 4, то его площадь равна 6. 11. Диагонали ромба перпендикулярны. 12. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. 13. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 14. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°. 15. Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат. 16. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 17. У любой трапеции боковые стороны равны. 18. Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. 19. Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°. 20. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб. 21. Диагонали прямоугольника равны. 22. Существует квадрат, который не является ромбом. 23. Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10. 24. Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°. 25. Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту. 26. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
1. Верно. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Доказательство: рассмотрим ABCD - произвольный прямоугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пусть AB = CD = a, BC = AD = b. Прямоугольник ABCD прямоугольный и равнобедренный, поэтому AO = OC = a/2 и BO = OD = b/2. Треугольник AOB также прямоугольный и равнобедренный, поэтому угол AOB = 90 градусов.
2. Верно. Существует квадрат, который не является ромбом. Доказательство: квадрат - это специальный случай ромба, где все стороны равны и все углы прямые. Ромб же может иметь ромбическую форму (не иметь прямых углов).
3. Верно. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Доказательство: рассмотрим квадрат ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По доказанному выше утверждению, они содержат два прямоугольных треугольника ABO и BCO со сторонами AO = OC и BO = OD. Значит, треугольники ABO и BCO равны по гипотенузе и катету, следовательно, угол AOB = 90 градусов.
4. Верно. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. Доказательство: сумма углов в любом выпуклом четырехугольнике равна 360°, так как каждый угол разделяет пространство на две части. Однако в четырехугольнике есть одна неправильная вершина, то есть угол больше 180 градусов. Значит, сумма всех углов четырехугольника равна 360° - угол больше 180°, что равно 180°.
5. Верно. Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°. Доказательство: в параллелограмме противоположные углы равны. Если один из углов равен 60°, то противоположный угол тоже равен 60°. Значит, противоположный угол равен 120°.
6. Верно. Диагонали квадрата делят его углы пополам. Доказательство: рассмотрим квадрат ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По доказанному выше утверждению, они содержат два прямоугольных треугольника ABO и BCO со сторонами AO = OC и BO = OD. Значит, треугольники ABO и BCO равны по гипотенузе и катету, следовательно, углы ABO и BCO равны.
7. Верно. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Доказательство: в параллелограмме противоположные стороны равны. Если две стороны четырехугольника равны, это означает, что он может быть разделен на два параллелограмма, каждый из которых имеет равные стороны. Значит, данный четырехугольник - параллелограмм.
8. Верно. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Доказательство: в прямоугольнике диагонали равны. Параллелограмм, в котором диагонали равны, может быть разделен на два равных треугольника. Это возможно только в случае прямоугольника.
9. Верно. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм является ромбом. Доказательство: рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором диагонали AC и BD делят его углы пополам. Пусть OA = OC и OB = OD. Тогда по утверждению 6, диагонали AC и BD перпендикулярны. Также, по утверждению 3, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Значит, параллелограмм ABCD - это ромб.
10. Верно. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°. Доказательство: в параллелограмме противоположные углы равны, а смежные углы с прилежащими сторонами дополняют друг друга до 180 градусов. Значит, если у одного из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, угол равен 50°, то другой угол тоже равен 50°.
11. Верно. Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°. Доказательство: сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°. Если сумма трех углов равна 200°, то четвертый угол равен 360° - 200° = 160°.
12. Верно. Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. Доказательство: если две фигуры имеют одинаковую площадь, это означает, что можно совместить одну фигуру с другой без перекрытия или накладывания. Таким образом, фигуры равны.
13. В