1. вычислить предел: lim-5 —
x-5
2. найти производную функции f(x) = 7х3+ 3x3 - ех и вычислить f'(1).
3. найти промежутки возрастания и убывания функции y = 2 x3 — 3х +6.
4. вычислить неопределённый интеграл (5х3+3х - 5) dx
5. вычислить определённый интегр
+ 5х – 2)dx
6. вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=-x + 3; у = 2.
7. найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 — — на отрезке
[-3; -4].
8. найти угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой хо,
f(x) = cos 2x, xo=
2х.
9. является ли данная функция решением дифференциального уравнения
y = c, e-2х + ce-2x, y" + 4y' +4y = 0
10. найти частное решение дифференциального уравнения у = 3х? +6х- 1,
удовлетворяющее начальным условиям у(1) = 12.
11. найти точку минимума функции y = (13-x) e13-х
12. восемнадцать детей встают в хоровод в случайном порядке. среди них
серёжа и его сестра аня. какова вероятность того, что серёжа и аня
окажутся рядом? ​

ответ:  0,292.

Всего выбрать троих дежурных из десяти человек можно столькими первым дежурным может быть любой из десяти человек, вторым - любой из девяти оставшихся, третий - любой из восьми, но так как порядок не имеет значения, нужно еще разделить на 3*2*1, количество перестановок из трех человек, что считается по аналогии):

Теперь подсчитаем количество в которых все дежурные - женщины (это тоже самое, что и выбрать трех человек из семи):

Следовательно, вероятность равна:

Если округлить это число до тысячных, то получится 0,292.

Очень просто. Обозначим катеты как a и b. По теореме Пифагора a^2 + b^2 = 15^2 = 225. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: a*b*0.5 = 54. Составляем систему из этих двух уравнений. Решаем подстановкой, допустим, возьмем катет a: a = 54/(0.5*b) = 54*2/b = 108/b. Далее подставляем в первое уравнение. Только не пугайся, числа большие: (108/b)^2 + b^2 = 225; 11664/b^2 + b^2 = 225. Умножаем обе части на b (в этом отношении мы можем делать что угодно, ведь длина катета - величина положительная) : 11664 + b^4 = 225*b^2. Переносим все в левую часть: b^4 - 225*b^2 + 11664 = 0. Заменим b^2 на x, тогда b^4 = x^2: x^2 - 225x +11664 = 0. Решаем квадратное уравнение: дискриминант равен (-225)^2 - 4*1*11664 = 50625 - 46656 = 3969 = 63^2. Далее находим корни: x1 = (-(-225) - 63)/2*1 = (225-63)/2 = 162/2 = 81. Т. е. x1 = 81, а значит b1 = корень квадратный из 81 = 9 (помним: длина катета - величина положительная) . Т. е. один катет мы уже нашли - он равен 9 см. Второй корень уравнения лучше не искать, второй катет можно найти из подстановки a = 108/b = 108/9 = 12. Все. Мы нашли катеты, они равны 9 см и 12 см соответственно. Задача решена. Можно сделать проверку: площадь равна 0.5*a*b = 0.5*12*9 = 54 см^2.