7. Разделим уравнение на cosx (при этом предполагаем, что cosx ≠ 0, иначе заменяем sin2x = 1 - cos2x, и в конце проверяем полученные решения):
6 = 2sinx(3cos^2x - 4)
8. Раскроем скобку:
6 = 2sinx(3cos^2x) - 8sinx
9. Упростим уравнение:
6 = 6sinx*cos^2x - 8sinx
10. Переставим все слагаемые в левой части уравнения:
6sinx - 6sinx*cos^2x + 8sinx = 0
11. Перенесем все слагаемые в правую часть уравнения:
6sinx - 6sinx*cos^2x + 8sinx - 6sinx = 0
12. Умножим обе части уравнения на -1:
-6sinx*cos^2x + 2sinx = 0
13. Факторизуем уравнение:
sinx(-6cos^2x + 2) = 0
14. Получаем два возможных решения:
sinx = 0 или -6cos^2x + 2 = 0
15. Спустимся на следующий уровень:
a) sinx = 0
Перечислим все значения угла, для которых sinx равно 0:
x = 0, π, 2π, 3π, ...
Найдем значения угла x, для которых sinx равно ±√(2/3):
x = sin^(-1)(±√(2/3))
Обратите внимание, что sin^(-1) обозначает арксинус, который возвращает значение угла, при котором sinx равен заданному значению.
Таким образом, значения угла x, для которых sinx равно ±√(2/3), будут:
x = sin^(-1)(√(2/3)) и x = π - sin^(-1)(√(2/3))
Таким образом, решение исходного тригонометрического уравнения будет включать значения угла x, равные 0, π, 2π, 3π, ... , sin^(-1)(√(2/3)), и π - sin^(-1)(√(2/3)).
1. Упростим выражение в левой части уравнения, раскрыв знаменатель дроби:
2cosx/(sin3x+sinx) = 2cosx/(2sin2xcosx) = 1/sin2x
Заменим это выражение в исходном уравнении:
1/sin2x - 4/3 = cos^2(x+π)
2. Воспользуемся формулой приведения для cos^2(x+π):
cos^2(x+π) = (cos(x+π))^2 = (-cosx)^2 = cos^2x
Теперь уравнение имеет вид:
1/sin2x - 4/3 = cos^2x
3. Приведем уравнение к общему знаменателю:
1/sin2x = (3cos^2x - 4)/3
4. Упростим уравнение:
3/(2sinx*cosx) = (3cos^2x - 4)/3
5. Умножим обе части уравнения на 2sinx*cosx:
3*2cosx = (2sinx*cosx)(3cos^2x - 4)
6. Упростим уравнение:
6cosx = 2sinx*cosx(3cos^2x - 4)
7. Разделим уравнение на cosx (при этом предполагаем, что cosx ≠ 0, иначе заменяем sin2x = 1 - cos2x, и в конце проверяем полученные решения):
6 = 2sinx(3cos^2x - 4)
8. Раскроем скобку:
6 = 2sinx(3cos^2x) - 8sinx
9. Упростим уравнение:
6 = 6sinx*cos^2x - 8sinx
10. Переставим все слагаемые в левой части уравнения:
6sinx - 6sinx*cos^2x + 8sinx = 0
11. Перенесем все слагаемые в правую часть уравнения:
6sinx - 6sinx*cos^2x + 8sinx - 6sinx = 0
12. Умножим обе части уравнения на -1:
-6sinx*cos^2x + 2sinx = 0
13. Факторизуем уравнение:
sinx(-6cos^2x + 2) = 0
14. Получаем два возможных решения:
sinx = 0 или -6cos^2x + 2 = 0
15. Спустимся на следующий уровень:
a) sinx = 0
Перечислим все значения угла, для которых sinx равно 0:
x = 0, π, 2π, 3π, ...
b) -6cos^2x + 2 = 0
Заменим cos^2x на (1 - sin^2x) (по формуле sin^2x + cos^2x = 1):
-6(1 - sin^2x) + 2 = 0
-6 + 6sin^2x + 2 = 0
6sin^2x = 4
sin^2x = 2/3
sinx = ±√(2/3)
Найдем значения угла x, для которых sinx равно ±√(2/3):
x = sin^(-1)(±√(2/3))
Обратите внимание, что sin^(-1) обозначает арксинус, который возвращает значение угла, при котором sinx равен заданному значению.
Таким образом, значения угла x, для которых sinx равно ±√(2/3), будут:
x = sin^(-1)(√(2/3)) и x = π - sin^(-1)(√(2/3))
Таким образом, решение исходного тригонометрического уравнения будет включать значения угла x, равные 0, π, 2π, 3π, ... , sin^(-1)(√(2/3)), и π - sin^(-1)(√(2/3)).