Пусть они встретились в точке C( между пунктами A и B). V(A) ⇒ x км /ч ; (Скорость автомобиля выехавший из пункта A обозначаем x км /ч ) AC =V(A)*t =x км/ч* 1ч = x км ; BC =AB -AC =(100 - x) км ; V(B) = BC / t = (100 - x )км /1ч =(100 - x ) км /ч. * * * 0 < x < 100 * * * По условию задачи можем составить уравнение (100 - x ) / x - x /(100 - x ) = 5/60 * * * || BC / V(A) - AC / V(B) = Δ t || * * * ; 12( (100 -x )² - x²) = x(100 -x) ; 12(10000 -200x) =100x - x² ; x² -2500x +120000 =0 ; x =1250 ± √(1250² -120000) = 250 ± √(25²*50² -12*4²25²) =25(50± √2308) ; x₁= 25(50 + √2308) > 100 не решение x₂ = 25(50 - √2308) ≈ 25(50 - 48 ,042 )
НАВЕРНО : Δ t = 50 мин , а не 5 мин тогда : (100 - x) / x - x /(100-x) =50/60 ⇔6(10000 - 200x) =5x(100-x) ; 5x² -1700x +60000 =0 ; x = (170 ± 130) x₁ =170+130 = 300 > 100 не решения x₂ = 170 -130 = 40 (км /ч). ⇒ V(B) = (100 -40) =60 (км /ч) .
Для решения надо вспомнить два полезных наблюдения. I. Сумма иррационального и рационального чисел - иррациональное число. II. Произведение рационального числа, не равного нулю, на иррациональное число - иррациональное число. (Оба наблюдения доказываются от противного, в итоге придем к противоречию: в первом случае иррациональное слагаемое - разность двух рациональных чисел, во втором - иррациональный сомножитель представляется в виде частного рациональных чисел).
Решение. 1) a - 2b = (a + b) - 3b - иррационально как сумма рационального по условию числа a+b и иррационального по наблюдению II числа (-3)*b 2) a^2 - ab - 2b^2 = a^2 + ab - 2ab - 2b^2 = a(a + b) - 2b(a + b) = (a + b)(a - 2b) - иррационально как произведение рационального ненулевого по условию числа a+b и иррационального по доказанному числу a-2b.
V(A) ⇒ x км /ч ;
(Скорость автомобиля выехавший из пункта A обозначаем x км /ч )
AC =V(A)*t =x км/ч* 1ч = x км ;
BC =AB -AC =(100 - x) км ;
V(B) = BC / t = (100 - x )км /1ч =(100 - x ) км /ч. * * * 0 < x < 100 * * *
По условию задачи можем составить уравнение
(100 - x ) / x - x /(100 - x ) = 5/60 * * * || BC / V(A) - AC / V(B) = Δ t || * * * ;
12( (100 -x )² - x²) = x(100 -x) ;
12(10000 -200x) =100x - x² ;
x² -2500x +120000 =0 ;
x =1250 ± √(1250² -120000) = 250 ± √(25²*50² -12*4²25²) =25(50± √2308) ;
x₁= 25(50 + √2308) > 100 не решение
x₂ = 25(50 - √2308) ≈ 25(50 - 48 ,042 )
НАВЕРНО : Δ t = 50 мин , а не 5 мин
тогда :
(100 - x) / x - x /(100-x) =50/60 ⇔6(10000 - 200x) =5x(100-x) ;
5x² -1700x +60000 =0 ;
x = (170 ± 130)
x₁ =170+130 = 300 > 100 не решения
x₂ = 170 -130 = 40 (км /ч). ⇒ V(B) = (100 -40) =60 (км /ч) .
ответ : V(A) = 40 км /ч ; V(B) =60 км /ч .
* * * * * * *
x =( 850 ± √ (850² - 5*60000) /5 = (850± √ (722500 - 300000) /5 (850± √ (422500) /5 =(850± 650) /5 =5(170 ± 130) /5 =170 ± 130;
I. Сумма иррационального и рационального чисел - иррациональное число.
II. Произведение рационального числа, не равного нулю, на иррациональное число - иррациональное число.
(Оба наблюдения доказываются от противного, в итоге придем к противоречию: в первом случае иррациональное слагаемое - разность двух рациональных чисел, во втором - иррациональный сомножитель представляется в виде частного рациональных чисел).
Решение.
1) a - 2b = (a + b) - 3b - иррационально как сумма рационального по условию числа a+b и иррационального по наблюдению II числа (-3)*b
2) a^2 - ab - 2b^2 = a^2 + ab - 2ab - 2b^2 = a(a + b) - 2b(a + b) = (a + b)(a - 2b) - иррационально как произведение рационального ненулевого по условию числа a+b и иррационального по доказанному числу a-2b.