5х+10/2х-6 Для алгебраической дроби: а) При каком значении переменной значение алгебраической дроби не определяется? б) При каком значении переменной значение алгебраической дроби равно нулю?
Подставляем во второе уравнение: a(1 - z - ay) + y = z - b (1 - a^2) y = z - b - a(1 - z)
Проблемы с наличием вещественных решений возникнут только в случае, когда a = +-1, в противном случае решением будет, например, z = 1, y = (1 - b)/(1 - a^2) и x = - a * (1 - b)/(1 - a^2).
a = 1: система превращается в x + y = 1 - z = z - b. У этой системы всегда есть решение z = (1 + b)/2, x = y = (1 - b)/4.
a = -1: система превращается в x - y = 1 - z = b - z. Чтобы тут были решения, нужно, чтобы выполнилось условие 1 - z = b - z, откуда b = 1. При b = 1 решением будет, например, тройка x = 1, y = z = 0.
1) m^4-n^4 = (m^2+n^2)(m^2-n^2) = (m^2+n^2)(m+n)(m-n) 2) a^6-a^4+2a^3+2a^2 = a^2(a^4-a^2+2a+2) поищем корни уравнения с целыми коэффициентами a^4-a^2+2a+2 = 0 среди делителей свободного члена +-1, +-2 +1 (a^4-a^2+2a+2)/(a-1) = a^3+a^2+2+4/(a-1) - не делится -1 (a^4-a^2+2a+2)/(a+1) = a^3 - a^2 + 2 - делится :) Т.е. второй множитель (a+1) Теперь работаем с многочленом a^3 - a^2 + 2 Снова пробуем делители свободного члена +1 (a^3 - a^2 + 2)/(a-1) = a^2+2/(a-1) - не делится -1 (a^3 - a^2 + 2)/(a+1) = a^2-2a+2 - снова -1 корень :) И второй множитель теперь выглядит так (a+1)^2 Попробуем найти корни a^2-2a+2 a^2-2a+2 = 0 D = (-2)^2-4*1*2 = 4-8 = -4 Дискриминант отрицателен, корней нет И ответ a^2(a+1)^2(a^2-2a+2) 3)(a+b)^3-(a+b)^3 = 0, раскладывать нечего на всякий случай (a+b)^3-(a-b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 - a^3+3a^2b-3ab^2+b^3 = 6a^2b+2b^3 = 2b(3a^2+b^2)
Подставляем во второе уравнение:
a(1 - z - ay) + y = z - b
(1 - a^2) y = z - b - a(1 - z)
Проблемы с наличием вещественных решений возникнут только в случае, когда a = +-1, в противном случае решением будет, например, z = 1, y = (1 - b)/(1 - a^2) и x = - a * (1 - b)/(1 - a^2).
a = 1: система превращается в x + y = 1 - z = z - b. У этой системы всегда есть решение z = (1 + b)/2, x = y = (1 - b)/4.
a = -1: система превращается в x - y = 1 - z = b - z. Чтобы тут были решения, нужно, чтобы выполнилось условие 1 - z = b - z, откуда b = 1. При b = 1 решением будет, например, тройка x = 1, y = z = 0.
ответ. b = 1.
2) a^6-a^4+2a^3+2a^2 = a^2(a^4-a^2+2a+2)
поищем корни уравнения с целыми коэффициентами
a^4-a^2+2a+2 = 0
среди делителей свободного члена +-1, +-2
+1
(a^4-a^2+2a+2)/(a-1) = a^3+a^2+2+4/(a-1) - не делится
-1
(a^4-a^2+2a+2)/(a+1) = a^3 - a^2 + 2 - делится :)
Т.е. второй множитель (a+1)
Теперь работаем с многочленом a^3 - a^2 + 2
Снова пробуем делители свободного члена
+1
(a^3 - a^2 + 2)/(a-1) = a^2+2/(a-1) - не делится
-1
(a^3 - a^2 + 2)/(a+1) = a^2-2a+2 - снова -1 корень :)
И второй множитель теперь выглядит так (a+1)^2
Попробуем найти корни a^2-2a+2
a^2-2a+2 = 0
D = (-2)^2-4*1*2 = 4-8 = -4
Дискриминант отрицателен, корней нет
И ответ
a^2(a+1)^2(a^2-2a+2)
3)(a+b)^3-(a+b)^3 = 0, раскладывать нечего
на всякий случай
(a+b)^3-(a-b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 - a^3+3a^2b-3ab^2+b^3 = 6a^2b+2b^3 = 2b(3a^2+b^2)