Пусть второй рабочий изготовил x деталей первого сорта и 100-x деталей второго сорта. Тогда на одну деталь первого сорта у второго рабочего приходится (100-x)/x деталей второго сорта (число деталей второго сорта надо поделить на число деталей первого сорта). По условию, первый рабочий изготовил 70-x деталей первого сорта и 100-(70-x)=30+x деталей второго сорта. Тогда на одну деталь первого сорта у первого рабочего приходится 4(100-x)/x деталей второго сорта. С другой стороны, это число равно (30+x)/(70-x).
Перемножая члены по правилу пропорций и приводя подобные члены, приходим к уравнению x⁴-13*x³+22*x²+117*x+81=0. Это уравнение является приведённым (коэффициент при x⁴ равен 1), поэтому его корни могут быть среди целых делителей его свободного члена. Таковыми являются числа 1,-1,3,-3,9,-9,27,-27,81,-81. Подставляя число -1 в уравнение, убеждаемся, что оно является его корнем. Разделив многочлен x⁴-13*x³+22*x²+117*x+81 на одночлен x+1, получаем равенство x⁴-13*x³+22*x²+117*x+81=(x+1)*(x³-14*x²+36*x+81). Рассмотрим теперь уравнение x³-14*x²+36*x+81=0. Оно тоже является приведённым, поэтому его корни могут быть среди чисел 1,-1,3,-3,9,-9,27,-27,81,81. Подставляя в уравнение число 9, убеждаемся, что оно является одним из корней. Разделив многочлен x³-14*x²+36*x+81 на двучлен x-9, получим равенство x³-14*x²+36*x+81=(x-9)*( x²-5*x-9). Квадратное уравнение x²-5*x-9=0 имеет корни (5+√61)/2 и (5-√61)/2. Значит, корни данного уравнения таковы: x1=-1, x2=9, x3=(5+√61)/2, x4=(5-√61)/2.
4(100-x)/x=(30+x)/(70-x)
(400-4x)(70-x)=x(30+x)
4x²-280x-400x+28000=x²+30x
3x²-710x+28000=0
D=710²-4*3*28000=168100=410²
x1=(710+410)/6=560/3>100 – посторонний корень
x2=(710-410)/6=50
Таким образом, второй рабочий изготовил 50 деталей первого сорта, а первый рабочий изготовил 70-50=20 деталей первого сорта.
x1=-1, x2=9, x3=(5+√61)/2, x4=(5-√61)/2.