Можно использовать метод док-ва от противного, предположив, что b > a или что b-a=c>0. b = c+a b^2=c^2+2ac+a^2 a^2-b^2 = -c^2-ac. Левая часть по условию >0, значит и правая тоже. Запишем -c^2-ac >0 При положительных а и с имеем положительные c^2 >0 и ac>0. Приплюсуем их и слева и справа к обеим частям неравенства. -c^2-ac + c^2 +ac > c^2+ас. Получим 0> c^2+ас, что неверно. Значит исходное b>a неверно. Поскольку а не равно b (иначе разность квадратов нулевая) , остаётся что верно только a>b.
Другой Дано a>0, b>0, a^2-b^2>0. Пусть a^2-b^2 = N >0 Тогда легко вычислить с=N/(2a+2b), причем ясно, что c>0, так как все числа положительны. Запишем тогда N=c(2a+2b) и тогда a^2-b^2 = c(2a+2b) > 0 a^2 - 2ac =b^2 +2bc Дополним левую часть до квадрата. a^2 - 2ac +с^2 =b^2 +2bc +c^2 (a-c)^2=(b+c)^2 Следовательно (a-c)=(b+c) a-b = 2c >0 a-b >0 или a>b, что и тр. док-ть.
b > a или что b-a=c>0.
b = c+a
b^2=c^2+2ac+a^2
a^2-b^2 = -c^2-ac.
Левая часть по условию >0, значит и правая тоже.
Запишем -c^2-ac >0
При положительных а и с имеем положительные c^2 >0 и ac>0.
Приплюсуем их и слева и справа к обеим частям неравенства.
-c^2-ac + c^2 +ac > c^2+ас.
Получим 0> c^2+ас, что неверно. Значит исходное b>a неверно.
Поскольку а не равно b (иначе разность квадратов нулевая) ,
остаётся что верно только a>b.
Другой
Дано a>0, b>0, a^2-b^2>0.
Пусть a^2-b^2 = N >0
Тогда легко вычислить с=N/(2a+2b), причем ясно, что c>0,
так как все числа положительны.
Запишем тогда N=c(2a+2b) и тогда
a^2-b^2 = c(2a+2b) > 0
a^2 - 2ac =b^2 +2bc Дополним левую часть до квадрата.
a^2 - 2ac +с^2 =b^2 +2bc +c^2
(a-c)^2=(b+c)^2
Следовательно
(a-c)=(b+c)
a-b = 2c >0
a-b >0 или
a>b, что и тр. док-ть.