Хорошо, давайте начнем с решения уравнения (4sin²x-1)√x²-64π²=0.
1. Для начала, давайте упростим уравнение:
Вынесем √x² как x, тогда уравнение принимает вид: (4sin²x-1)x-64π²=0
2. Заметим, что у нас есть произведение двух выражений, (4sin²x - 1) и x. Это значит, что одно из них должно быть равно нулю, чтобы весь произведение стало равно нулю.
3. Рассмотрим первое выражение: 4sin²x - 1 = 0.
Для решения этого уравнения, добавим 1 к обеим сторонам:
4sin²x = 1
4. Разделим обе стороны уравнения на 4:
sin²x = 1/4
5. Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
sinx = √(1/4)
6. Имея sinx = √(1/4), найдем все значения x, удовлетворяющие этому уравнению.
Так как sinx должен быть между -1 и 1, у нас есть два возможных значения:
а) sinx = 1/2,
б) sinx = -1/2.
7. Решим первый случай: sinx = 1/2.
Для этого случая, нам нужно найти все значения x на интервале [0, 2π], для которых sinx равно 1/2.
Находим эти значения, это будет π/6 и 5π/6.
8. Теперь решим второй случай: sinx = -1/2.
Для этого случая, нам нужно найти все значения x на интервале [0, 2π], для которых sinx равно -1/2.
Находим эти значения, это будет 7π/6 и 11π/6.
Таким образом, мы нашли все значения x, которые удовлетворяют уравнению (4sin²x-1)√x²-64π²=0, они равны π/6, 5π/6, 7π/6 и 11π/6.
Теперь перейдем ко второй части вопроса: найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [25; 30].
Чтобы найти значения x, находящиеся в этом отрезке, нам нужно проверить каждое из найденных значений x на то, принадлежат ли они данному отрезку.
1. Проверим первое значение, π/6:
Заметим, что π/6 примерно равно 0.524, что находится в диапазоне [0, 2π].
Подставим это значение в исходное уравнение и проверим, подходит ли оно:
(4sin²(π/6)-1)√(π/6)²-64π² = (4(1/4)-1)√(π/6)^2-64π² = (1-1)√(π/6)^2-64π² = 0
Значит, π/6 является корнем нашего уравнения.
2. Проверим второе значение, 5π/6:
Заметим, что 5π/6 примерно равно 2.617, что находится в диапазоне [0, 2π].
Подставим это значение в исходное уравнение:
(4sin²(5π/6)-1)√(5π/6)²-64π² = (4(1/4)-1)√(5π/6)^2-64π² = (1-1)√(5π/6)^2-64π² = 0
Значит, 5π/6 является корнем нашего уравнения.
3. Проверим третье значение, 7π/6:
Заметим, что 7π/6 примерно равно 3.665, что находится в диапазоне [0, 2π].
Подставим это значение в исходное уравнение:
(4sin²(7π/6)-1)√(7π/6)²-64π² = (4(1/4)-1)√(7π/6)^2-64π² = (1-1)√(7π/6)^2-64π² = 0
Значит, 7π/6 является корнем нашего уравнения.
4. Проверим последнее значение, 11π/6:
Заметим, что 11π/6 примерно равно 5.759, что находится в диапазоне [0, 2π].
Подставим это значение в исходное уравнение:
(4sin²(11π/6)-1)√(11π/6)²-64π² = (4(1/4)-1)√(11π/6)^2-64π² = (1-1)√(11π/6)^2-64π² = 0
Значит, 11π/6 является корнем нашего уравнения.
Итак, мы нашли все значения x, которые являются корнями уравнения (4sin²x-1)√x²-64π²=0 и принадлежат отрезку [25; 30]. Они равны π/6, 5π/6, 7π/6 и 11π/6.
1. Для начала, давайте упростим уравнение:
Вынесем √x² как x, тогда уравнение принимает вид: (4sin²x-1)x-64π²=0
2. Заметим, что у нас есть произведение двух выражений, (4sin²x - 1) и x. Это значит, что одно из них должно быть равно нулю, чтобы весь произведение стало равно нулю.
3. Рассмотрим первое выражение: 4sin²x - 1 = 0.
Для решения этого уравнения, добавим 1 к обеим сторонам:
4sin²x = 1
4. Разделим обе стороны уравнения на 4:
sin²x = 1/4
5. Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
sinx = √(1/4)
6. Имея sinx = √(1/4), найдем все значения x, удовлетворяющие этому уравнению.
Так как sinx должен быть между -1 и 1, у нас есть два возможных значения:
а) sinx = 1/2,
б) sinx = -1/2.
7. Решим первый случай: sinx = 1/2.
Для этого случая, нам нужно найти все значения x на интервале [0, 2π], для которых sinx равно 1/2.
Находим эти значения, это будет π/6 и 5π/6.
8. Теперь решим второй случай: sinx = -1/2.
Для этого случая, нам нужно найти все значения x на интервале [0, 2π], для которых sinx равно -1/2.
Находим эти значения, это будет 7π/6 и 11π/6.
Таким образом, мы нашли все значения x, которые удовлетворяют уравнению (4sin²x-1)√x²-64π²=0, они равны π/6, 5π/6, 7π/6 и 11π/6.
Теперь перейдем ко второй части вопроса: найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [25; 30].
Чтобы найти значения x, находящиеся в этом отрезке, нам нужно проверить каждое из найденных значений x на то, принадлежат ли они данному отрезку.
1. Проверим первое значение, π/6:
Заметим, что π/6 примерно равно 0.524, что находится в диапазоне [0, 2π].
Подставим это значение в исходное уравнение и проверим, подходит ли оно:
(4sin²(π/6)-1)√(π/6)²-64π² = (4(1/4)-1)√(π/6)^2-64π² = (1-1)√(π/6)^2-64π² = 0
Значит, π/6 является корнем нашего уравнения.
2. Проверим второе значение, 5π/6:
Заметим, что 5π/6 примерно равно 2.617, что находится в диапазоне [0, 2π].
Подставим это значение в исходное уравнение:
(4sin²(5π/6)-1)√(5π/6)²-64π² = (4(1/4)-1)√(5π/6)^2-64π² = (1-1)√(5π/6)^2-64π² = 0
Значит, 5π/6 является корнем нашего уравнения.
3. Проверим третье значение, 7π/6:
Заметим, что 7π/6 примерно равно 3.665, что находится в диапазоне [0, 2π].
Подставим это значение в исходное уравнение:
(4sin²(7π/6)-1)√(7π/6)²-64π² = (4(1/4)-1)√(7π/6)^2-64π² = (1-1)√(7π/6)^2-64π² = 0
Значит, 7π/6 является корнем нашего уравнения.
4. Проверим последнее значение, 11π/6:
Заметим, что 11π/6 примерно равно 5.759, что находится в диапазоне [0, 2π].
Подставим это значение в исходное уравнение:
(4sin²(11π/6)-1)√(11π/6)²-64π² = (4(1/4)-1)√(11π/6)^2-64π² = (1-1)√(11π/6)^2-64π² = 0
Значит, 11π/6 является корнем нашего уравнения.
Итак, мы нашли все значения x, которые являются корнями уравнения (4sin²x-1)√x²-64π²=0 и принадлежат отрезку [25; 30]. Они равны π/6, 5π/6, 7π/6 и 11π/6.