Oy: x = 0 ⇒ y = -9. Значит (0;-9) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
y=-x^4+8x^2-9.
y'=0 ⇒-4x³+16x = 0 ⇒ -4x(x²-4) = 0.
Имеем 3 критические точки: х = 0, х = 2 и х = -2.
Определяем знаки производной вблизи критических точек.
x = -3 -2 -1 0 1 2 3
y' = 60 0 -12 0 12 0 -60.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Минимум функции в точке: x = 0.
Максимумы функции в точках:
x = -2.
x = 2.
Убывает на промежутках (-2, 0] U [2, +oo).
Возрастает на промежутках (-oo, -2] U [0, 2).
6. Вычисление второй производной: y''=-12х² + 16 ,
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
Вторая производная 4 \left(- 3 x^{2} + 4\right) = 0.
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}.
x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках [-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]
Выпуклая на промежутках (-oo, -2*sqrt(3)/3] U [2*sqrt(3)/3, oo)
Пошаговое объяснение: Рассмотрим отдельно случай, когда а = 0. Имеем следующее уравнение: -2x = 10, имеющее единственный корень. Данное значение а нам не подходит.
Пусть а = -2. Имеем следующее уравнение:
0x² - (0+2)x +10 - 10 = 0; 10 = 10 ⇒ x - любое число. Корней бесконечно много, поэтому это значение параметра нам подходит.
Если а ≠ 0, то уравнение - квадратное и имеет больше одного корня, если его дискриминант D > 0.
Исследовать функцию y=-x^4+8x^2-9 и построить ее график.
1. Область определения функции - вся числовая ось.
2. Функция y=-x^4+8x^2-9 непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
Так как переменная имеет чётные показатели степени, то функция чётная, непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
Ox: y=0, -x^4+8x^2-9=0, заменим x^2 = n.
Квадратное уравнение, решаем относительно n:
Ищем дискриминант:
D=8^2-4*(-1)*(-9)=64-4*(-1)*(-9)=64-(-4)*(-9)=64-(-4*(-9))=64-(-(-4*9))=64-(-(-36))=64-36=28;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
n₁=(√28-8)/(2*(-1)) = (√28-8)/(-2) = -(2√7/2-8/2)= 4 -√7 ≈ 1,354249;
n₂ = (-√28-8)/(2*(-1)) = (-2√7-8)/(-2)= 4 + √7 ≈ 6,645751.
Обратная замена: х = √n.
x₁ = √1,354249 = 1,163722, x₂ = -1,163722.
x₃ = √6,645751 = 2,57793, x₄ = -2,577935.
Получаем 4 точки пересечения с осью Ох:
(1,163722; 0), (-1,16372; 0), (2,57793; 0), (-2,57793; 0).
x₃ = √6,645751 = 2,57793,
Oy: x = 0 ⇒ y = -9. Значит (0;-9) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
y=-x^4+8x^2-9.
y'=0 ⇒-4x³+16x = 0 ⇒ -4x(x²-4) = 0.
Имеем 3 критические точки: х = 0, х = 2 и х = -2.
Определяем знаки производной вблизи критических точек.
x = -3 -2 -1 0 1 2 3
y' = 60 0 -12 0 12 0 -60.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Минимум функции в точке: x = 0.
Максимумы функции в точках:
x = -2.
x = 2.
Убывает на промежутках (-2, 0] U [2, +oo).
Возрастает на промежутках (-oo, -2] U [0, 2).
6. Вычисление второй производной: y''=-12х² + 16 ,
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
Вторая производная 4 \left(- 3 x^{2} + 4\right) = 0.
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}.
x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках [-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]
Выпуклая на промежутках (-oo, -2*sqrt(3)/3] U [2*sqrt(3)/3, oo)
8. Искомый график функции в приложении.
Подробнее - на -
Объяснение:
ответ: a ∈ (-1/40; 0)∪(0; +∞)∪{-2}.
Пошаговое объяснение: Рассмотрим отдельно случай, когда а = 0. Имеем следующее уравнение: -2x = 10, имеющее единственный корень. Данное значение а нам не подходит.
Пусть а = -2. Имеем следующее уравнение:
0x² - (0+2)x +10 - 10 = 0; 10 = 10 ⇒ x - любое число. Корней бесконечно много, поэтому это значение параметра нам подходит.
Если а ≠ 0, то уравнение - квадратное и имеет больше одного корня, если его дискриминант D > 0.
Найдем дискриминант:
D = (-(a+2))² - 4a(2a + 4)(-5a - 10) = a² + 4a + 4 + 4a(2a + 4)(5a
+ 10) = a²+ 4a + 4 + 4a(10a² + 20a + 20a + 40) = a² + 4a + 4 + 40a³ + 160a² + 160a = 40a³ + 161a² + 164a + 4 > 0.
40a³ + 161a² + 164a + 4 > 0
40a³ + a² + 160a² + 4a + 160a + 4 > 0
a²(40a + 1 ) + 4a(40a + 1) + 4(40a + 1) > 0
(40a + 1)(a² + 4a + 4)>0
(40a + 1)(a + 2)²> 0
40a+ 1 > 0 ⇒ a > -1/40.
Не забываем про a = -2 и а = 0, записываем ответ: a ∈ (-1/40; 0)∪(0; +∞)∪{-2}.