Алгебра: Самостоятельная работа по теме «Неравенства».
1.Решите неравенство: 20 – 3(Х-5) ≤ 19 – 7Х
Алгоритм решения
1.Раскройте скобки
2.Перенесите, известные слагаемые в правую часть неравенства, неизвестные в левую.
3.Приведите подобные слагаемые.
4.Правую и левую части неравенства делим на коэффициент при Х.
5.Чертим числовую прямую, отмечаем на ней промежуток, который является решением, и
записываем ответ.
2 Решите систему неравенств: 1){ Х >34−Х >0 2){ Х <102 Х−12≥ 0
3.Решите неравенство методом интервалов: 5Х2 + Х - 4¿0
Алгоритм решения
1.Разложите квадратный трёхчлен в левой части на множители, по формуле
ах2 + bх + с =
=а(х – х1)(х – х2)
2.В левой части будет три множителя. Найдите значения х при которых произведение равно нулю.
3.На числовой прямой отметьте эти числа, нарисуйте дуги и определите знак в крайнем левом
промежутке ( чтобы определить знак, нужно взять число из этого промежутка и подставить в
разложение квадратного трёхчлен, если в этом промежутке будет знак «+» в следующем « - «,
знаки чередуются.
4.В ответ запишите промежуток, в котором квадратный трёхчлен принимает положительные
значения.
Самостоятельная работа по теме «Квадратичная
функция»
1.. Решите уравнение Х3= Х2 – 7Х + 7
Алгоритм решения
1.Все слагаемые из правой части переносим в левую часть.
2.Многочлен в левой части раскладываем на множители группировки.
2.Сократите дробь 6 x 2 - 5 x - 6
4 x 2 - 4 x - 3
w = m(X) / m(раствор)
Она часто задается в процентах:
w = m(X) / m(раствор) * 100%
1 случай.
Масса m1 кислоты в получившемся растворе: m1 = 2 w1 + 6 w2, где w1 и w2 - массовые доли кислоты в первом (2 кг) и втором (6 кг) растворе.
Массовая доля w3 кислоты в получившемся растворе равна по условию 0,36.
И она же равна w3 = m1 / (2 + 6) = m1 / 8 = (2 w1 + 6 w2) / 8 = 0.36
( [2+6] в знаменателе - это масса получившегося раствора [2 кг+6 кг])
2 случай
Возьмем для определенности равные массы, равные 1 кг.
Масса m2 кислоты в получившемся растворе: m2 = w1 + w2
Массовая доля w4 кислоты в полученном растворе равна по условию 0,32.
И она же равна w4 = m2 / 2 = (w1 + w2) / 2 = 0.32
(2 в знаменателе - это масса получившегося раствора [1 кг + 1 кг] )
Получаем систему уравнений относительно w1 и w2:
(2 w1 + 6 w2) / 8 = 0.36
(w1 + w2) / 2 = 0.32
2 w1 + 6 w2 = 2.88
w1 + w2 = 0.64
Из второго уравнения w1 = 0.64 - w2
Подставляем это выражение для w1 в первое уравнение:
2 (0,64 - w2) + 6 w2 = 2.88
1.28 - 2 w2 + 6 w2 = 2.88
1.28 + 4 w2 = 2.88
4 w2 = 1.6
w2 = 0.4 = 40%
Отсюда w1 = 0.64 - w2 = 0.64 - 0.4 = 0.24 = 24%
ответ: концентрация первого раствора - 24%, второго раствора - 40%
Проверка:
(2*0,24 + 6*0,4) / 8 = 0,36 = 36%
0,24 + 0,4 / 2 = 0,32 = 32%
Примечание.
Во втором случае можно брать не по одному килограмму, а по х килограммов раствора. Но это дела не меняет:
m2 = x w1 + x w2
w4 = m2 / (x + x) = (x w1 + x w2) / 2x = x(w1 + w2) / 2x = (w1 + w2) / 2
(х + х) - это масса получившегося раствора.
Как видим, х сокращается, и получаем тот же результат:
w4 = (w1 + w2) / 2
За 3 часа автомобиль проехал 3х км.
Трактор до момента встречи ехал на 15 мин. меньше.
3 часа - 15 мин = 2 часа 45 мин =2,75 часа и
проехал путь, равный 2,75у км.
Транспортные средства встретились, значит проехали путь от А до В.
(3х+2,75у ) км - расстояние от А до В.
Автомобиль проехал (6х+5,5у) со скоростью х км в час и затратил на путь туда и обратно
(6х+5,5y)/x часов.
Трактор проехал (3х+2,75у) со скоростью у км в час и затратил
(3х+2,75у)/у часов.
По условию трактор находился в пути на 15 мин =1/4 часа меньше.
Составляем уравнение:
((6х+5,5y)/x) - ((3х+2,75у)/у)= 1/4 .
Делим каждое слагаемое числителя первой дроби на х, каждое слагаемое числителя второй дроби на у:
6+5,5 (у/х) - 3(х/у) -2,75=0,25.
Пусть х/у=t, тогда у/х = 1/t
3t-(5,5/t)-3=0
3t²-3t-5,5=0
6t²-6t-11=0
D=36+264=300
t=(6+√300)/12=(6+10√3)/12=(3+5√3)/6
t=(6-√300)/12 <0 и не удовлетворяет условию задачи
t=x/y=(3+5√3)/6≈1,94 раза