D.1. Из цифр 4, 6, 7 случайным образом составляют трёхзнач-
ное число без повторяющихся цифр. Какова вероятность
того, что получится:
а) наибольшее из всех таких чисел;
б) число, у которого вторая цифра 7;
в) число, заканчивающееся на 6;
г) число, кратное 5?
Решение
tg α – tg β = tg (α – β) (1 + tg α tg β).
Получаем:
tg x tg 2x tg 3x = tg 3x – tg x + tg 4x – tg 2x,
tg x tg 2x tg 3x = tg 2x (1 + tg x tg 3x) + tg 2x (1 + tg 2x tg 4x),
tg 2x (1 + tg x tg 3x – tg x tg 3x + 1 + tg 2x tg 4x) = 0,
tg 2x = 0 или tg 2x tg 4x = –2.
С первым понятно, что делать. Второе:
tg 2x tg 4x = –2,
tg 2x · 2 tg 2x / (1 – tg² 2x) = –2,
tg² 2x = tg² 2x – 1.
Это равенство невозможно.
Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так
Половина пути для второго автомобиля 0,5.
Пусть х км/ч – скорость первого автомобилиста,
тогда (х + 54) км/ч - скорость второго автомобилиста
Время второго автомобиля, за которое он весь путь
0,5 / 36 + 0,5/(x + 54)
Время первого автомобиля равно времени второго автомобиля.
1/x = 0,5 / 36 + 0,5/(x + 54)
1/x - 0,5 / 36 - 0,5/(x + 54) = 0
36(x + 54) – 0,5x(x + 54) – 0,5*36x = 0
36x + 1944 – 0,5x² - 27x – 18x = 0
– 0,5x² - 9x + 1944 = 0 I : (-0.5)
x² + 18x – 3888 = 0
D = 324 + 4*1*3888 = 15876 = 1262
X₁ = (- 18 – 126)/2 = - 72 не удовлетворяет условию задачи
X₂ = (- 18 + 126)/2 = 54
54 км/ч - скорость первого автомобилиста
ответ: 54 км/ч