Неравенство loga(x)(f(x)>0 равносильно выполнению следующих условий: a(x)>0, f(x)>0, (a(x)-1)(f(x)-1)>0 f(x)=I4x-5I; a(x)=-4x^2+12x-8 У нас f(x)>0, если x≠5/4 Найдем, при каких значениях x a(x)>0 -4x^2+12x-8>0⇒x^2-3x+2<0 Решим уравнение x^2-3x+2=0. По теореме Виетта x1+x2=3; x1*x2=2⇒ x1=1; x2=2 Эти значения разбивают числовую прямую на 3 интервала: (-∞;1); (1;2); (2;+∞) По методу интервалов в крайнем справа будет +, дальше идет чередование Решением нашего нер-ва является интервал (1;2) Рассмотрим 2 случая 1) 4x-5>0⇒x>5/4⇒I4x-5I=4x-5 (a(x)-1)*(f(x)-1)=(-4x^2+12x-8-1)*(4x-5-1)>0⇒(4x^2-12x+9)*(4x-6)<0⇒ (2x-3)^2*(4x-6)⇒<0 (2x-3)^2>0, если x≠3/2;⇒ 4x-6<0⇒x<3/2⇒ 5/4<x<3/2 - решение нер-ва - попадают в интервал (1;2) ) 4x-5<0⇒x<5/4⇒I4x-5I=5-4x (a(x)-1)*(f(x)-1)=(-4x^2+12x-8-1)*(5-4x-1)>0⇒(4x^2-12x+9)*(4-4x)<0⇒ (2x-3)^2*4(1-x)⇒<0⇒(2x-3)^2*(1-x)⇒<0 (2x-3)^2>0, если x≠3/2;⇒ 1-x<0⇒x>1⇒ 1<x<5/4- решение нер-ва - попадают в интервал (1;2) ответ: x∈(1;5/4)∨(5/4;3/2)
a(x)>0, f(x)>0, (a(x)-1)(f(x)-1)>0
f(x)=I4x-5I; a(x)=-4x^2+12x-8
У нас f(x)>0, если x≠5/4
Найдем, при каких значениях x a(x)>0
-4x^2+12x-8>0⇒x^2-3x+2<0
Решим уравнение x^2-3x+2=0. По теореме Виетта x1+x2=3; x1*x2=2⇒
x1=1; x2=2
Эти значения разбивают числовую прямую на 3 интервала:
(-∞;1); (1;2); (2;+∞)
По методу интервалов в крайнем справа будет +, дальше идет чередование
Решением нашего нер-ва является интервал (1;2)
Рассмотрим 2 случая
1) 4x-5>0⇒x>5/4⇒I4x-5I=4x-5
(a(x)-1)*(f(x)-1)=(-4x^2+12x-8-1)*(4x-5-1)>0⇒(4x^2-12x+9)*(4x-6)<0⇒
(2x-3)^2*(4x-6)⇒<0
(2x-3)^2>0, если x≠3/2;⇒ 4x-6<0⇒x<3/2⇒
5/4<x<3/2 - решение нер-ва - попадают в интервал (1;2)
) 4x-5<0⇒x<5/4⇒I4x-5I=5-4x
(a(x)-1)*(f(x)-1)=(-4x^2+12x-8-1)*(5-4x-1)>0⇒(4x^2-12x+9)*(4-4x)<0⇒
(2x-3)^2*4(1-x)⇒<0⇒(2x-3)^2*(1-x)⇒<0
(2x-3)^2>0, если x≠3/2;⇒ 1-x<0⇒x>1⇒
1<x<5/4- решение нер-ва - попадают в интервал (1;2)
ответ: x∈(1;5/4)∨(5/4;3/2)
ответ: S(n)= ((3a-1)*(4^n-1) +3n)/9
S(5)= 58.5 (при a=0.5)
Объяснение:
Можно решать в лоб и просто найти и сложить все 5 членов.
Используя рекуррентное соотношение: a(n+1)=4*a(n)-1, найдем все все 5 членов:
a(1)=0.5
a(2)=4*0.5-1=1
a(3)=4*1-1=3
a(4)=4*3-1=11
a(5)=4*11-1=43
S(5)=0.5+1+3+11+43=58.5
Но мы решим эту задачу в общем виде.
Cначало попробуем найти формулу n-го члена этой последовательности.
Используем рекуррентное соотношение :
a(n+1)=4*a(n)-1
Запишем первые 3 члена:
a(1)=a1
a(2)=4a1-1
a(3)=4*(4a1-1)-1=16*a1-4a-1=4^2*a1-4a1-1
Можно уже догадаться что формула n члена имеет вид:
a(n)=a1*4^(n-1)-4^(n-2)-4^(n-3)-4^4 - 4^3 - 4^2- 4- 1
Докажем наше предположение методом математической индукции:
Вычислим значение для n=1 :
a(1)=a1*4^(1-1)=a1*4^0=a1 ( верно)
Предположим, что формула верна для n=k :
a(k)=a1*4^(k-1)-4^(k-2)-4^(k-3) - 4^2 - 4 - 1
Тогда покажем ее верность для n=k+1
То есть необходимо доказать что:
a(k+1)=a1*4^k -4^(k-1)-4^(k-2)-4^2-4-1
Поскольку : a(k+1)=4*a(k)-1
a(k+1)=4*(a1*4^(k-1)-4^(k-2)-4^(k-3)-4^2- 4- 1 )-1= =a1*4^k -4^(k-1)-4^(k-2)-4^3-4^2-4-1 - (верно)
Таким образом наше предположение доказано.
Заметим, что нашу формулу можно записать так:
a(n)=a1*4^(n-1) + (1+4+4^2+4^3+ 4^(n-1)+4^(n-2) )
В скобках видим сумму геометрической прогрессии в которой:
b1=1
q=4
Тогда выражение в скобках равно:
S'=(q^(n-1)-1)/(q-1) =(4^(n-1) -1)/(4-1)= (4^(n-1)-1)/3
a(n)= a1*4^(n-1) - (4^(n-1)-1)/3= (3*a1*4^(n-1) -4^(n-1)+1)/3=
= (4^(n-1) *(3a1-1) +1)/3 = 4^(n-1)*(3a1-1) +1/3
Теперь можно найти сумму n членов:
S(n)= 1/3 * (3a1-1)*(1+4+4^2...+4^(n-1) ) +n*(1/3)
Cумма в скобках вновь геометрическая прогрессия:
S''= (4^n -1)/3
S(n)= (3a-1)*(4^n -1)/9 +n/3= ((3a-1)*(4^n -1) +3n)/9
Таким образом формула сумму n-членов ряда заданного рекуррентным соотношением:
a(n+1)=4*a(n)-1
Вычисляется по формуле:
S(n)= ((3a-1)*(4^n -1) +3n)/9
Осталось подставить в формулу начальные данные:
a1=0.5
n=5
3a-1=3*0.5-1=0.5
4^n-1=4^5 -1= 1024-1=1023
S(5)= (0.5 *1023 +15)/9= 58.5
ответ: S(5)= 58.5
P.S как видим ответ совпал .