Для решения данного уравнения сначала проведем метод замены переменной. Предлагается обозначить √(2х²+3x+9) как t и записать уравнение в новых обозначениях:
2x² + 3x + t = 33.
Теперь у нас есть уравнение: 2x² + 3x + t = 33.
а) Чтобы привести данное уравнение к виду t² + t - 42 = 0, нам нужно продолжить выражение t² + t - 42 = 0, используя исходное уравнение.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
(2x² + 3x + t)² = (33)².
Раскроем скобки:
4x^4 + 12x³ + 4tx² + 9x² + 6xt + 9t + t² = 1089.
Теперь перенесем все члены к одной стороне уравнения:
Теперь мы должны заметить, что коэффициенты при x в исходном уравнении и приведенном уравнении должны быть одинаковыми. Значит, коэффициенты x² и x в приведенном уравнении должны быть равны коэффициентам x² и x в исходном уравнении.
Сравнивая эти два уравнения, мы получаем:
(13 + 4t)x² = 9x²,
(6t) x = 3x,
(9t + t² - 1089) = 0.
Отсюда следует, что:
13 + 4t = 9,
6t = 3,
9t + t² - 1089 = 0.
Решим первые два уравнения:
13 + 4t = 9,
4t = 9 - 13,
4t = -4,
t = -1.
6t = 3,
t = 3 / 6,
t = 1 / 2.
Таким образом, мы нашли два возможных значения переменной t.
b) Теперь мы должны показать, что решением уравнения Дано уравнение: 2x² + 3x + √(2х² + 3x + 9) = 33 являются корни x₁ = -4.5 и x₂ = 3.
2x² + 3x + t = 33.
Теперь у нас есть уравнение: 2x² + 3x + t = 33.
а) Чтобы привести данное уравнение к виду t² + t - 42 = 0, нам нужно продолжить выражение t² + t - 42 = 0, используя исходное уравнение.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
(2x² + 3x + t)² = (33)².
Раскроем скобки:
4x^4 + 12x³ + 4tx² + 9x² + 6xt + 9t + t² = 1089.
Теперь перенесем все члены к одной стороне уравнения:
4x^4 + 12x³ + (13 + 4t)x² + (6t) x + (9t + t² - 1089) = 0.
Теперь мы должны заметить, что коэффициенты при x в исходном уравнении и приведенном уравнении должны быть одинаковыми. Значит, коэффициенты x² и x в приведенном уравнении должны быть равны коэффициентам x² и x в исходном уравнении.
Сравнивая эти два уравнения, мы получаем:
(13 + 4t)x² = 9x²,
(6t) x = 3x,
(9t + t² - 1089) = 0.
Отсюда следует, что:
13 + 4t = 9,
6t = 3,
9t + t² - 1089 = 0.
Решим первые два уравнения:
13 + 4t = 9,
4t = 9 - 13,
4t = -4,
t = -1.
6t = 3,
t = 3 / 6,
t = 1 / 2.
Таким образом, мы нашли два возможных значения переменной t.
b) Теперь мы должны показать, что решением уравнения Дано уравнение: 2x² + 3x + √(2х² + 3x + 9) = 33 являются корни x₁ = -4.5 и x₂ = 3.
Подставим первый корень в исходное уравнение:
2(-4.5)² + 3(-4.5) + √(2(-4.5)² + 3(-4.5) + 9) = 33.
Упростим это выражение:
2(20.25) - 13.5 + √(2(20.25) - 13.5 + 9) = 33.
40.5 - 13.5 + √(40.5 - 13.5 + 9) = 33.
67.5 - 13.5 + √(67.5 - 13.5 + 9) = 33.
54 + 3 = 33.
57 = 33,
что является неверным уравнением.
Подставим второй корень:
2(3)² + 3(3) + √(2(3)² + 3(3) + 9) = 33.
2(9) + 9 + √(2(9) + 9 + 9) = 33.
18 + 9 + √(18 + 9 + 9) = 33.
27 + 3 = 33.
30 = 33,
что также является неверным уравнением.
Таким образом, ни одно из найденных значений x₁ = -4.5 и x₂ = 3 не является решением исходного уравнения 2x² + 3x + √(2х² + 3x + 9) = 33.