ДАЮ МАКСИМУМ! Для каждого значения параметра a определить число решений уравнения:

Показать ответ

Ответ:

vesnasurgut

30.08.2020 11:24

Перенесем все влево и вынесем за скобки :

$x^3-6x^2-ax=0,\\\\x(x^2-6x-a)=0$

Из этого следует, что уравнение всегда имеет хотя бы одно решение - x=0 . Задача сводится к тому, чтобы посмотреть, при каких будут корни у уравнения x^2-6x-a=0 и сколько их будет. Для этого достаточно рассмотреть 2 ситуации.

1) проверим, при каком значении корнем уравнения x^2-6x-a=0 будет x=0 . Подставляем ноль в уравнение: $0-0-a=0\Rightarrow a=0$ . При a=0 имеем:

$x(x^2-6x)=0, \\\\x\cdot x(x-6)=0;\\\\x^2(x-6)=0$

Делаем вывод, что при a=0 уравнение имеет два корня: x=0, x=6 .

2) при $a\neq 0$ уравнение x^2-6x-a=0 не может иметь корень x=0 . Уравнение - квадратное. Сразу ищем дискриминант: $D=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-a)=36+4a.$

Здесь рассматриваем 3 случая:

2.1. Если , то уравнение x^2-6x-a=0 решений не имеет - следовательно, вторая скобка не будет давать новых решений и у исходного уравнения оно будет единственным.

2.2. Если $D=0\Rightarrow 36+4a=0\Rightarrow a=-9$ , то подставляя вместо параметра -9 в итоге получаем: $x^2-6x+9=0, (x-3)^2=0\Rightarrow x=3$ . Итого "вылез" еще один корень - значит, у исходного уравнения их будет два.

2.3. Если $D0\Rightarrow 36+4a0\Rightarrow a-9$ , то уравнение x^2-6x-a=0 имеет два решения - следовательно, исходное будет иметь уже 3 решения. Заметим, что в это неравенство входит a=0 , а мы его проверяли отдельно - при a=0 корней будет 2, а не 3, поэтому из неравенства его нужно исключить.

ОТВЕТ: При уравнение имеет единственный корень; при a=-9 и a=0 уравнение имеет два различных корня; при $a\in(-9; 0)\cup(0; +\infty)$ уравнение имеет три различных корня.