Алгебра: Для каждого значения параметра a решите уравнение[tex] rac{x {}^{2} - (4a + 5)x - 20a }{x {}^{2} - 4 } = 0[/tex]

Для каждого значения параметра a решите уравнение $\frac{x {}^{2} - (4a + 5)x - 20a }{x {}^{2} - 4 } = 0$

Показать ответ

Ответ:

elen72

03.03.2020 09:53

Сделаем замену: x=y+1

$x^4-4x^3+12x^2-24x+24=\\
(y+1)^4-4(y+1)^3+12(y+1)^2-24(y+1)+24=\\
=...=y^4+6y^2-8y+9=(y^2+3)^2-8y$

Рассмотрим, как ведут себя функции: f_1(y)=(y^2+3)^2

--------------------------
первая - параболического типа, монотонно убывает на промежутке $(-\infty;0]$ и монотонно растет на промежутке $[0;+\infty;0)$
вершина: (0;9)

для любого значения

из промежутка $(-\infty;0]$ выражение (y^2+3)^2-8y

принимает положительные значения, так как вторая функция - монотонно растущая и при значении y=0

достигает лишь нуля, в то время, как вторая функция в принципе не принимает значений меньших за

.

Осталось разобраться с промежутком положительных чисел.
Для этого будем анализировать скорости роста обеих функций (их производные)
f_1'(y)=[(y^2+3)^2]'=2(y^2+3)(y^2+3)'=2(y^2+3)(2y)=4y^3+12y

f_1'(y)=[(y^2+3)^2]'=2(y^2+3)(y^2+3)'=2(y^2+3)(2y)=4y^3+12y

Как видим, скорость роста второй функции постоянна, при увеличении у-ка на 1, функция f_2(y)

прибывает на 8
Вторая же функция, скорость её изменения на интерсном нам интервале: $[0;+\infty)$ положительна, и уже при y=1

равна: $f_1'(1)=4*1^3+12*1\ \textgreater \ 8$ (и дльше только растет) т.е, первая функция после y=1

гарантированно растет быстрее чем вторая, при чем на момент y=1

вторая функция не успела догнать первую: $f_1(1)=(1^2+3)^2=16\ \textgreater \ f_2(1)=8*1=8$

Это и означает, что выражение (y^2+3)^2-8y

принимает исключительно положительные значения, и исходное неравенство действительных решений не имеет.
-----------------------------------------------------

Решите неравенство: x^4-4x^3+12x^2-24x+24< 0

Решите неравенство: x^4-4x^3+12x^2-24x+24< 0

0,0(0 оценок)

Ответ:

Stupidpeoplenamber1

25.01.2023 21:10

Ыражение: x^2-x-6=(x-3)(x+2)
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√25-(-1))/(2*1)=(5-(-1))/2=(5+1)/2=6/2=3;x_2=(-√25-(-1))/(2*1)=(-5-(-1))/2=(-5+1)/2=-4/2=-2.
Выражение: x^2+3*x-4=(x-1)(x+4)
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=3^2-4*1*(-4)=9-4*(-4)=9-(-4*4)=9-(-16)=9+16=25;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√25-3)/(2*1)=(5-3)/2=2/2=1;x_2=(-√25-3)/(2*1)=(-5-3)/2=-8/2=-4.
Выражение: x^2-8*x+15=(x-5)(x-3)
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-8)^2-4*1*15=64-4*15=64-60=4;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(=√4-(-8))/(2*1)=(2-(-8))/2=(2+8)/2=10/2=5;x_2=(-=√4-(-8))/(2*1)=(-2-(-8))/2=(-2+8)/2=6/2=3.
Выражение: x^2+8*x+12=(x+2)(x+6)
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=8^2-4*1*12=64-4*12=64-48=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√16-8)/(2*1)=(4-8)/2=-4/2=-2;x_2=(-√16-8)/(2*1)=(-4-8)/2=-12/2=-6.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра