докажите, что для любого натурального n: 3^n+4^n-1 - вопрос №3416114684193 от 54783 21.05.2022 09:47

Question

Алгебра: докажите, что для любого натурального n: 3^n+4^n-1 делится на 6 (через три действия 1)n=1 2) n=k 3)n=k+1

54783 · Answer

Доказательство методом математической индукции
База индукции
При n=1 утверждение справедливо.
3^1+4^1-1=3+4-1=6

а значит делится нацело на 6

Гипотеза индукции:
Предположим, что утверждение справедливо при $n=k \geq 1$
т.е. что 3^k+4^k-1

кратно 6

ИндукционнЫй переход. Докажем, что тогда утверждение справедливо и при n=k+1

.

$3^{k+1}+4^{k+1}-1=3^1*3^k+4^1*4^k-1=3*3^k+4*4^k-1=\\\\(3^k+4^k-1)+(2*3^k+3*4^k)$ а значит кратно 6
так как выражение в первой скобке кратно 6 согласно гипотезе индукции
выражение во вторых скобках кратно 6 так как каждого из слагаемых, составляющих его сумму кратно 6
---------------///////////////
при $k \geq 1$
$2*3^k=2*3*3^{k-1}=6*3^{k-1}$ - 6 Умноженное на 1 или натуральную степень числа 3
$3*4^k=3*4*4^{k-1}=12*4^{k-1}$ - множитель 12 кратный 6 ( $4^{k-1} \geq 4^{1-1}=4^0=1$ - и натуральное число)
--------------////////

Согласно принципу математической индукции утверждение верно. Доказано