1) Для начала решим квадратное уравнение a² - 10a + 26 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта.
D = b² - 4ac
В данном случае a = 1, b = -10, c = 26.
D = (-10)² - 4 * 1 * 26 = 100 - 104 = -4
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней, а значит, график квадратного трехчлена не пересекает ось абсцисс. Значит, коэффициент при a² положителен, и квадратное уравнение имеет положительный свободный член.
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней. Значит, график квадратного трехчлена не пересекает ось абсцисс. В данном случае коэффициент при y² положителен, и квадратное уравнение имеет положительный свободный член.
То есть, 9y² - 6y + 2 > 0 для любого значения y.
3) Разберем неравенство a(a - 2) > 6(a - 3).
Распишем скобки и упростим:
a² - 2a > 6a - 18
Перенесем все члены в одну сторону:
a² - 2a - 6a + 18 > 0
a² - 8a + 18 > 0
Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b² - 4ac
В данном случае a = 1, b = -8, c = 18.
D = (-8)² - 4 * 1 * 18 = 64 - 72 = -8
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней, и график квадратного трехчлена не пересекает ось абсцисс. Коэффициент при a² положителен, и квадратное уравнение имеет положительный свободный член.
В данном случае рассмотрим все слагаемые отдельно.
Первое слагаемое x² не зависит от y и всегда положительное.
Второе слагаемое -4xy зависит от значений x и y. В данном случае оно негативное, так как -4 умноженное на x и y.
Третье слагаемое 5y² положительное для любого значения y.
Четвертое слагаемое 2y зависит от значения y. Оно положительное для любого значения y.
Пятое слагаемое 2 всегда положительное.
Таким образом, чтобы неравенство x² - 4xy + 5y² + 2y + 2 >= 0 было истинным, нужно чтобы первое слагаемое было положительным, а все остальные слагаемые были отрицательными или нулевыми.
D = b² - 4ac
В данном случае a = 1, b = -10, c = 26.
D = (-10)² - 4 * 1 * 26 = 100 - 104 = -4
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней, а значит, график квадратного трехчлена не пересекает ось абсцисс. Значит, коэффициент при a² положителен, и квадратное уравнение имеет положительный свободный член.
То есть, a² - 10a + 26 > 0 для любого значения a.
2) Докажем неравенство 6y - 9y² - 2 < 0. Сначала решим квадратное уравнение 9y² - 6y + 2 = 0.
D = (-6)² - 4 * 9 * 2 = 36 - 72 = -36
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней. Значит, график квадратного трехчлена не пересекает ось абсцисс. В данном случае коэффициент при y² положителен, и квадратное уравнение имеет положительный свободный член.
То есть, 9y² - 6y + 2 > 0 для любого значения y.
3) Разберем неравенство a(a - 2) > 6(a - 3).
Распишем скобки и упростим:
a² - 2a > 6a - 18
Перенесем все члены в одну сторону:
a² - 2a - 6a + 18 > 0
a² - 8a + 18 > 0
Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b² - 4ac
В данном случае a = 1, b = -8, c = 18.
D = (-8)² - 4 * 1 * 18 = 64 - 72 = -8
Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет корней, и график квадратного трехчлена не пересекает ось абсцисс. Коэффициент при a² положителен, и квадратное уравнение имеет положительный свободный член.
То есть, a² - 8a + 18 > 0 для любого значения a.
4) Разберем неравенство x² - 4x + y² + 2y + 5 >= 0.
Если заданное выражение неотрицательное, значит, либо оба слагаемых x² - 4x и y² + 2y положительны, либо оба отрицательны.
Решим первое слагаемое: x² - 4x > 0.
Это квадратное уравнение имеет пару корней x1 = 0 и x2 = 4.
Получается, при x < 0 и x > 4 неравенство x² - 4x > 0 не выполняется.
Второе слагаемое y² + 2y > 0.
Это квадратное уравнение имеет пару корней y1 = -2 и y2 = 0.
Получается, при y < -2 и y > 0 неравенство y² + 2y > 0 не выполняется.
Таким образом, неравенство x² - 4x + y² + 2y + 5 >= 0 выполняется только в интервале -2 <= y <= 0 и 0 <= x <= 4.
5) Разберем неравенство x² - 4xy + 5y² + 2y + 2 >= 0.
В данном случае рассмотрим все слагаемые отдельно.
Первое слагаемое x² не зависит от y и всегда положительное.
Второе слагаемое -4xy зависит от значений x и y. В данном случае оно негативное, так как -4 умноженное на x и y.
Третье слагаемое 5y² положительное для любого значения y.
Четвертое слагаемое 2y зависит от значения y. Оно положительное для любого значения y.
Пятое слагаемое 2 всегда положительное.
Таким образом, чтобы неравенство x² - 4xy + 5y² + 2y + 2 >= 0 было истинным, нужно чтобы первое слагаемое было положительным, а все остальные слагаемые были отрицательными или нулевыми.