Хорошо! Давай построим графики функций у=3^x и у=(1/3)^x на одной координатной плоскости.
Для начала, давай разберемся, что такое функция. Функция - это связь между двумя переменными, где каждому значению одной переменной соответствует только одно значение другой переменной.
В нашем случае, функции у=3^x и у=(1/3)^x имеют вид у=a^x, где а - это постоянное число.
Для построения графика, нам нужно выбрать несколько значений переменной x, вычислить соответствующие значения функций у=3^x и у=(1/3)^x и отобразить их на координатной плоскости.
Давай выберем значения переменной x от -3 до 3, чтобы график был наглядным. Можно выбрать любые другие значения, но для примера возьмем эти.
x = -3:
у=3^(-3)=1/3^3 = 1/27 ≈ 0.037 (округляем до трех знаков после запятой)
у=(1/3)^(-3)=3^3 = 27
x = -2:
у=3^(-2)=1/3^2 = 1/9 ≈ 0.111 (округляем до трех знаков после запятой)
у=(1/3)^(-3)=3^2 = 9
x = -1:
у=3^(-1)=1/3^1 = 1/3 ≈ 0.333 (округляем до трех знаков после запятой)
у=(1/3)^(-1)=3^1 = 3
x = 0:
у=3^0=1
у=(1/3)^0=1
x = 1:
у=3^1=3
у=(1/3)^1=1/3 ≈ 0.333 (округляем до трех знаков после запятой)
x = 2:
у=3^2=9
у=(1/3)^2=1/9 ≈ 0.111 (округляем до трех знаков после запятой)
x = 3:
у=3^3=27
у=(1/3)^3=1/27 ≈ 0.037 (округляем до трех знаков после запятой)
Теперь, когда у нас есть значения функций для различных значений x, мы можем отобразить их на координатной плоскости.
Для удобства, давай разделим оси координат на единичные отрезки.
Построим график функции у=3^x, используя значения, которые мы вычислили:
Точки для у=3^x: (-3, 0.037), (-2, 0.111), (-1, 0.333), (0, 1), (1, 3), (2, 9), (3, 27).
Соединим эти точки гладкой кривой, учитывая порядок значений x. Выглядит это примерно так:
|
|
|
|
|
______|___
-3 -2 -1 0 1 2 3
Теперь построим график функции у=(1/3)^x, используя значения:
Точки для у=(1/3)^x: (-3, 27), (-2, 9), (-1, 3), (0, 1), (1, 0.333), (2, 0.111), (3, 0.037).
Соединим эти точки гладкой кривой, учитывая порядок значений x. График будет выглядеть так:
|
______|___
|
|
|
|
|
-3 -2 -1 0 1 2 3
Наши графики готовы! Они показывают, как значение функций меняется в зависимости от значения переменной x.
На этом наш урок о построении графиков функций у=3^x и у=(1/3)^x на одной координатной плоскости завершен!
Таким образом, 23-й член арифметической прогрессии равен 51.
20. Найдите сумму 16 первых членов арифметической прогрессии 8; 4; 0; …
Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой:
Sн = (n / 2) * (a1 + ан)
где Sн - сумма первых n членов арифметической прогрессии, n - количество членов в прогрессии, a1 - первый член арифметической прогрессии, ан - n-й член арифметической прогрессии.
В данном случае нам нужно найти сумму 16 первых членов прогрессии, где первый член (a1) равен 8. Также в задании не указано, какое значение будет у последнего члена (ан). Поэтому мы не можем найти сумму без знания последнего члена.
30. Найдите сумму 60 первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn = 3n – 1.
Для нахождения суммы первых n членов последовательности, заданной формулой, мы можем использовать формулу:
Sн = (n / 2) * (a1 + ан)
В данном случае понятно, что первый член арифметической прогрессии a1 равен bn, когда n равно 1, то есть:
a1 = b1 = 3 * 1 – 1 = 2
Теперь нам нужно найти значение а60 (последнего члена арифметической прогрессии).
a60 = (3 * 60) – 1
= 180 – 1
= 179
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения суммы:
S60 = (60 / 2) * (2 + 179)
= 30 * 181
= 5430
Таким образом, сумма первых 60 членов последовательности равна 5430.
4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1 = 25,5 и а9 = 5,5?
Для ответа на этот вопрос нам нужно проверить, удовлетворяет ли число 54,5 условию арифметической прогрессии.
Мы знаем значения первого и девятого членов арифметической прогрессии: а1 = 25,5 и а9 = 5,5.
Используя формулу для нахождения аn (ан), мы можем проверить, является ли число 54,5 членом прогрессии:
54,5 = а1 + (n - 1) * d
где n - номер члена в прогрессии, d - разность прогрессии.
Мы не знаем значение разности (d), поэтому нам нужно найти ее, используя известные значения первого и девятого членов:
Теперь мы можем проверить, удовлетворяет ли число 54,5 условию арифметической прогрессии:
54,5 = 25,5 + (n - 1) * (-2,5)
Перенесем значения:
29 = (n - 1) * (-2,5)
Разделим обе части на -2,5:
(n - 1) = -29 / (-2,5)
= 11,6
(n - 1) должно быть целым числом, но 11,6 - не является целым числом.
Таким образом, число 54,5 не является членом арифметической прогрессии с данными значениями первого и девятого членов.
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.
Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не больших 100, мы можем использовать формулу для нахождения суммы арифметической прогрессии:
S = (n / 2) * (a1 + an)
Где S - сумма всех чисел, n - количество чисел в последовательности, a1 - первое число, an - последнее число.
В данном случае, нам нужно найти сумму чисел, кратных 3 и не превосходящих 100. Первое число a1 = 3, так как это первое кратное 3. Нам нужно найти последнее число an.
Максимальное число, кратное 3 и не большее 100, равно 99. Убедимся, что это номер последнего члена в прогрессии:
99 = a1 + (n - 1) * d
Перенесем значения:
99 - 3 = (n - 1) * 3
96 = 3n - 3
3n = 99
n = 33
Теперь мы можем найти сумму всех чисел:
S = (33 / 2) * (3 + 99)
= 16.5 * 102
= 1683
Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100, равна 1683.
Для начала, давай разберемся, что такое функция. Функция - это связь между двумя переменными, где каждому значению одной переменной соответствует только одно значение другой переменной.
В нашем случае, функции у=3^x и у=(1/3)^x имеют вид у=a^x, где а - это постоянное число.
Для построения графика, нам нужно выбрать несколько значений переменной x, вычислить соответствующие значения функций у=3^x и у=(1/3)^x и отобразить их на координатной плоскости.
Давай выберем значения переменной x от -3 до 3, чтобы график был наглядным. Можно выбрать любые другие значения, но для примера возьмем эти.
x = -3:
у=3^(-3)=1/3^3 = 1/27 ≈ 0.037 (округляем до трех знаков после запятой)
у=(1/3)^(-3)=3^3 = 27
x = -2:
у=3^(-2)=1/3^2 = 1/9 ≈ 0.111 (округляем до трех знаков после запятой)
у=(1/3)^(-3)=3^2 = 9
x = -1:
у=3^(-1)=1/3^1 = 1/3 ≈ 0.333 (округляем до трех знаков после запятой)
у=(1/3)^(-1)=3^1 = 3
x = 0:
у=3^0=1
у=(1/3)^0=1
x = 1:
у=3^1=3
у=(1/3)^1=1/3 ≈ 0.333 (округляем до трех знаков после запятой)
x = 2:
у=3^2=9
у=(1/3)^2=1/9 ≈ 0.111 (округляем до трех знаков после запятой)
x = 3:
у=3^3=27
у=(1/3)^3=1/27 ≈ 0.037 (округляем до трех знаков после запятой)
Теперь, когда у нас есть значения функций для различных значений x, мы можем отобразить их на координатной плоскости.
Для удобства, давай разделим оси координат на единичные отрезки.
Построим график функции у=3^x, используя значения, которые мы вычислили:
Точки для у=3^x: (-3, 0.037), (-2, 0.111), (-1, 0.333), (0, 1), (1, 3), (2, 9), (3, 27).
Соединим эти точки гладкой кривой, учитывая порядок значений x. Выглядит это примерно так:
|
|
|
|
|
______|___
-3 -2 -1 0 1 2 3
Теперь построим график функции у=(1/3)^x, используя значения:
Точки для у=(1/3)^x: (-3, 27), (-2, 9), (-1, 3), (0, 1), (1, 0.333), (2, 0.111), (3, 0.037).
Соединим эти точки гладкой кривой, учитывая порядок значений x. График будет выглядеть так:
|
______|___
|
|
|
|
|
-3 -2 -1 0 1 2 3
Наши графики готовы! Они показывают, как значение функций меняется в зависимости от значения переменной x.
На этом наш урок о построении графиков функций у=3^x и у=(1/3)^x на одной координатной плоскости завершен!
Для нахождения 23-го члена арифметической прогрессии нам нужно знать значение первого члена (а1) и разности (d).
Формула для нахождения аn:
ан = а1 + (n - 1) * d
где аn - искомый член арифметической прогрессии, а1 - первый член арифметической прогрессии, n - номер члена в прогрессии, d - разность прогрессии.
В данном случае а1 = -15 и d = 3, а нам нужно найти 23-й член прогрессии (а23).
Подставим значения в формулу:
а23 = -15 + (23 - 1) * 3
= -15 + 22 * 3
= -15 + 66
= 51
Таким образом, 23-й член арифметической прогрессии равен 51.
20. Найдите сумму 16 первых членов арифметической прогрессии 8; 4; 0; …
Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой:
Sн = (n / 2) * (a1 + ан)
где Sн - сумма первых n членов арифметической прогрессии, n - количество членов в прогрессии, a1 - первый член арифметической прогрессии, ан - n-й член арифметической прогрессии.
В данном случае нам нужно найти сумму 16 первых членов прогрессии, где первый член (a1) равен 8. Также в задании не указано, какое значение будет у последнего члена (ан). Поэтому мы не можем найти сумму без знания последнего члена.
30. Найдите сумму 60 первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn = 3n – 1.
Для нахождения суммы первых n членов последовательности, заданной формулой, мы можем использовать формулу:
Sн = (n / 2) * (a1 + ан)
В данном случае понятно, что первый член арифметической прогрессии a1 равен bn, когда n равно 1, то есть:
a1 = b1 = 3 * 1 – 1 = 2
Теперь нам нужно найти значение а60 (последнего члена арифметической прогрессии).
a60 = (3 * 60) – 1
= 180 – 1
= 179
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения суммы:
S60 = (60 / 2) * (2 + 179)
= 30 * 181
= 5430
Таким образом, сумма первых 60 членов последовательности равна 5430.
4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1 = 25,5 и а9 = 5,5?
Для ответа на этот вопрос нам нужно проверить, удовлетворяет ли число 54,5 условию арифметической прогрессии.
Мы знаем значения первого и девятого членов арифметической прогрессии: а1 = 25,5 и а9 = 5,5.
Используя формулу для нахождения аn (ан), мы можем проверить, является ли число 54,5 членом прогрессии:
54,5 = а1 + (n - 1) * d
где n - номер члена в прогрессии, d - разность прогрессии.
Мы не знаем значение разности (d), поэтому нам нужно найти ее, используя известные значения первого и девятого членов:
d = (а9 - а1) / (9 - 1)
= (5,5 - 25,5) / 8
= -20 / 8
= -2,5
Теперь мы можем проверить, удовлетворяет ли число 54,5 условию арифметической прогрессии:
54,5 = 25,5 + (n - 1) * (-2,5)
Перенесем значения:
29 = (n - 1) * (-2,5)
Разделим обе части на -2,5:
(n - 1) = -29 / (-2,5)
= 11,6
(n - 1) должно быть целым числом, но 11,6 - не является целым числом.
Таким образом, число 54,5 не является членом арифметической прогрессии с данными значениями первого и девятого членов.
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.
Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не больших 100, мы можем использовать формулу для нахождения суммы арифметической прогрессии:
S = (n / 2) * (a1 + an)
Где S - сумма всех чисел, n - количество чисел в последовательности, a1 - первое число, an - последнее число.
В данном случае, нам нужно найти сумму чисел, кратных 3 и не превосходящих 100. Первое число a1 = 3, так как это первое кратное 3. Нам нужно найти последнее число an.
Максимальное число, кратное 3 и не большее 100, равно 99. Убедимся, что это номер последнего члена в прогрессии:
99 = a1 + (n - 1) * d
Перенесем значения:
99 - 3 = (n - 1) * 3
96 = 3n - 3
3n = 99
n = 33
Теперь мы можем найти сумму всех чисел:
S = (33 / 2) * (3 + 99)
= 16.5 * 102
= 1683
Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100, равна 1683.