Войти Регистрация Спроси ai-bota

Интегрирование рациональных дробей.

Показать ответ

Ответ:

MastruevaNasty

26.08.2020 10:47

Метод неопределённых коэффициентов

$\displaystyle \int\limits { \frac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} } \, dx =\int\limits { \frac{Ax+B}{x^2+1} } \, dx +\int\limits { \frac{C}{x-2} } \, dx \boxed{=}$

*********************************************************
$\dfrac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} = \dfrac{Ax+B}{x^2+1} + \dfrac{C}{x-2}$

Приводя к общему знаменателю, получим
x^2=(Ax+B)(x-2)+C(x^2+1)

x^2=(Ax+B)(x-2)+C(x^2+1)

Найдем коэффициенты A, B, C.
$x^2\,:\, \, 2^2=0+C\cdot (2^2+1)\\ x^0\,:\, \,0=B\cdot (-2)+C\\ x^1\,:\, \,1=-A-B+2C$

Решая систему уравнений, получим: $\begin{cases}
 & \text{ } C= \,\,\,\,\dfrac{4}{5} \\ 
 & \text{ } B= \dfrac{2}{5} \\ 
 & \text{ } A=\,\,\,\,\dfrac{1}{5} 
\end{cases}$
*******************************************************

$\displaystyle \boxed{=} \int\limits { \frac{ \frac{1}{5}x+ \frac{2}{5} }{x^2+1} } \, dx +\int\limits { \frac{ \frac{4}{5} }{x-2} } \, dx = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{x+2}{x^2+1} } \, dx + \frac{4}{5} \int\limits { \frac{dx}{x-2} } \, =\\ \\ \\ = \frac{1}{5} \int\limits { \frac{xdx}{x^2+1} } \, + \frac{2}{5} \int\limits { \frac{dx}{x^2+1} } \, + \frac{4}{5} \int\limits { \frac{dx}{x-2} } \,= \\ \\ \\ = \frac{1}{10}\ln (x^2+1)+ \frac{2}{5} arctg x+ \frac{4}{5} \ln|x-2|+C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

irinka15012002

11.11.2022 21:05

ЕЩЕ ОЧЕНЬ !! Замени С одночленом так, чтобы получился квадрат двучлена: Во знаки то графы, куда ответ нужно ввести....

мозгилучше

30.04.2023 12:19

Впишите верный ответ. При каком значении a осью симметрии параболы является прямой y=ax(квадрат) - 12x+5 x=-1...

Yulia190978

07.10.2020 16:50

До рівняння 4x+y=2 доберіть друге лінійне рівняння так щоб отримати систему рівнянь: 1) мала єдиний розв язок. 2) мала безліч розв язків; 3) не мала розв язків...

спецназ8

01.03.2021 14:37

Побудувати графік функції у=.Корінь стосується всього виразу.І друге: не виконуючи побудови,знайти координати точки перетину графіку функції у= та прямої у=3.Перше то я...

ruslan426

09.02.2021 08:12

Постройте график функции y=- корень 3 степени из (x-1) +3...

ulviismailov13

09.02.2021 08:12

Диагонали прямоугольника авсd пересекаються в точке о.найдите периметр треугольника аов,если аd=15,cd=8,ас=17....

Yxxxzy

03.07.2021 15:50

Найдите корень уравнения (1/2)^16-x=64....

karinkacommelЛіза

27.08.2022 00:21

Решить задачу на склад привезли ягоды , содержание воды в которых составляло 99%. от долгого хранения содержание воды в ягодах сокоратилось до 98%. во сколько раз ищменилась...

1lilita

13.01.2023 01:30

Решите квадратное уравнение: 2y^2-y-5=0...

guldanaramazan

03.03.2021 18:23

Найти множество значений функций: y=1-8cos^2x*sin^2x y= y=1-2[cosx] -модуль...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку