Исследуйте функцию и постройте график y= 8x³ - x⁴ . y = x³ (8- x) 1. D(y ) : x∈(-∞; ∞) * * * Область Определения Функции →ООФ * * * 2. Ни четная , ни нечетная , ни периодическая . 3. Пересечения с осями координат: (0 ;0) , (8, 0) . 4.Определим интервалы знакопостоянства функции y = x³ (8- x) " - " " + " " - " 0 8 нули функции : x =0 и x =8 .
y < 0 ,если x ∈ (-∞ ; 0 ) ∪ ( 8 ; ∞) . y > 0 ,если x ∈ (0 ; 8) . 5. Определим промежутки монотонности и точки экстремума: y '=( 8x³- x⁴) ' =( 8x³) ' - (x⁴ ) ' =8(x³) ' -4x³ =8*3x²-4x³ =24x²- 4x³ =4x²(6 -x). y ' " + " "+ " " - " 0 6 у ↑ ↑ max ↓ Функция возрастает при x ∈ (-∞ ;6] , убывает при x ∈ [ 6 ; +∞) . у(6) =8*(6)³ - 6⁴ =(6)³ (8-6)=216*2 = 432 . (6 ; 432)_точка максимума.
Точки выпуклости и вогнутости y '' =(y')' =(24x² - 4x³) ' = 48x -12x² =12x(4 -x). x =0 и x =4 точки перегиба * * * y '' = 0 * * * Выпуклый , если x ∈ ( -∞;0) и x ∈ ( 4 ;+∞) * * * y '' < 0 * * *вогнутый , если x ∈ ( 0 ;4 ) * * * y'' > 0 * * * x→±∞ ⇒ y→ -∞ .
Таким образом характерные точки на графике пересечение с координатными осями (0 ; 0) , (8; 0) * * * функция положительно при x∈ (0 ; 8) * * * точка максимума (6 ; 432) . (единственная точка экстремума) точки перегиба : (0 ;0 ) (от выпуклости к вогнутости) ; (4 ; 4⁴) ⇔ (4 ; 256) (от вогнутости к выпуклости ) .
Исследуйте функцию и постройте график y= 8x³ - x⁴ .
y = x³ (8- x)
1. D(y ) : x∈(-∞; ∞) * * * Область Определения Функции →ООФ * * *
2. Ни четная , ни нечетная , ни периодическая .
3. Пересечения с осями координат: (0 ;0) , (8, 0) .
4.Определим интервалы знакопостоянства функции
y = x³ (8- x)
" - " " + " " - " 0 8 нули функции : x =0 и x =8 .
y < 0 ,если x ∈ (-∞ ; 0 ) ∪ ( 8 ; ∞) .
y > 0 ,если x ∈ (0 ; 8) .
5. Определим промежутки монотонности и точки экстремума:
y '=( 8x³- x⁴) ' =( 8x³) ' - (x⁴ ) ' =8(x³) ' -4x³ =8*3x²-4x³ =24x²- 4x³ =4x²(6 -x).
y ' " + " "+ " " - " 0 6
у ↑ ↑ max ↓
Функция возрастает при x ∈ (-∞ ;6] , убывает при x ∈ [ 6 ; +∞) .
у(6) =8*(6)³ - 6⁴ =(6)³ (8-6)=216*2 = 432 . (6 ; 432)_точка максимума.
Точки выпуклости и вогнутости
y '' =(y')' =(24x² - 4x³) ' = 48x -12x² =12x(4 -x).
x =0 и x =4 точки перегиба * * * y '' = 0 * * *
Выпуклый , если x ∈ ( -∞;0) и x ∈ ( 4 ;+∞) * * * y '' < 0 * * *вогнутый , если x ∈ ( 0 ;4 ) * * * y'' > 0 * * *
x→±∞ ⇒ y→ -∞ .
Таким образом характерные точки на графике
пересечение с координатными осями (0 ; 0) , (8; 0)
* * * функция положительно при x∈ (0 ; 8) * * *
точка максимума (6 ; 432) . (единственная точка экстремума)
точки перегиба :
(0 ;0 ) (от выпуклости к вогнутости) ;
(4 ; 4⁴) ⇔ (4 ; 256) (от вогнутости к выпуклости ) .