Из двух городов A и B, расстояние между которыми равно 135 км, одновременно выехали две автомашины. Скорость первой машины равна 92 км/ч, а скорость второй машины — 47 км/ч. На каком расстоянии от города B обе машины встретятся и через какое время? ответ: обе машины встретятся на расстоянии (?) км от города B, и это случится через (?) часа.
ответ: 3 решения будет , когда a∈{49} ∪ {4*(10-√51)}
Объяснение:
Рассмотрим уравнение 1 :
(|y-10|+|x+3|-2)*(x^2+y^2-6)=0
Уравнение представляет собой совокупность квадрата с центром в точке: B(-3;10) с половиной диагонали равной 2 и окружность с центром в начале координат и радиусом √6.
Рассмотрим уравнение 2
(x+3)^2+(y-5)^2=a -окружность с центром в точке : A (-3 ;5) и радиусом равным √a (находится на одной вертикали с квадратом из уравнения 1)
На рисунке показаны случаи касания окружности из уравнения к окружности и к квадрату из уравнения 1.
3 решения будет либо когда окружность из уравнения 2 касается квадрата (в 1 точке ) и пересекает окружность уравнения 1 ( в двух точках соответственно) , либо когда касается окружности уравнения и пересекает квадрат ( в двух точках соответственно).
Все обозначения смотрите на рисунке.
Найдем расстояния между центрами:
AB=10-5=5
AO=√(5^2+3^2)=√34
a1=5-2=3 → a=3^2=9
a2=5+2=7 → a=7^2=49
a3=√34-√6=√2* (√17-√3) → a= (√2* (√17-√3) )^2=40-4√51=4*(10-√51)
a4=√34+√6=√2*(√17+√3) → a= (√2*(√17+√3) )^2=4*(10+√51)
Cравним: a1 и a3
3 и √2* (√17-√3)
9 и 40-4*√51
4√51 и 31
816 < 961
Так же очевидно ,что :
a4=√34+√6 >√25+√4 =7=a2
a3=√34-√6<√49=7=a2
a4>a2>a3>a1
Тогда из рисунка видно, что 3 решения получается когда :
a=a3^2=4*(10-√51)
a= a2^2=49
a∈{49} ∪ {4*(10-√51)}
Теперь рассмотрим отдельно то , когда a=0
В этом случае уравнение 2 имеет вид :
(x+3)^2 +(y-5)^2=0
Поскольку квадрат число неотрицательное , то
x=-3 ; y=5
Но эта точка не принадлежит области первого уравнения.
ответ : 3 решения будет , когда a∈{49} ∪ {4*(10-√51)}
ответ: a∈ [√5-1 ;√13+1] ∪ [-1-√13 ; 1-√5]
Объяснение:
Рассмотрим первое неравенство в системе:
x^2+y^2+7<=4*( |x|+|y|)
(x^2-4*|x|+4)+(y^2-4*|y|+4)<=1
(|x|-2)^2+( |y|-2)^2<=1
Рассмотрим все случаи :
1) x>0 ,y >0
(x-2)^2+(y-2)^2<=1 (заштрихованный круг с центром (2,2) и радиусом 1 )
2) x<0 ; y<0
(x+2)^2+(y+2)^2<=1 ( заштрихованный круг с центром (-2,-2) и радиусом 1)
3) x>0 ; y<0
(x-2)^2+(y+2)^2<=1 ( заштрихованный круг с центром (2;-2) и радиусом 1)
4) x<0 , y>0
(x+2)^2+(y-2)^2<=1 (заштрихованный круг c центром (-2;2) и радиусом 1)
Рассмотрим уравнение 2 :
x^2+y^2+2y=a^2-1
x^2+y^2+2y+1=a^2
x^2+(y+1)^2=a^2 ( окружность с центром (0;-1) и радиусом |a| , то есть радиус окружности меняется в зависимости от параметра a)
Покажем на рисунке все случаи существования решений в зависимости от радиуса a. ( они соответствуют случаям касаний окружностей). Все нужные обозначения на рисунке.
Найдем теперь расстояние между центрами окружностей:
A (-2;-2) ; C(0;-1) ; B( -2;2)
AC=√( (-2-0)^2 +(-2-(-1) )^2 )= √(4+1)=√5
BC= √( (-2-0)^2 +( 2-(-1) )^2 )=√(4+9)=√13
a1= AC-1 =√5-1
a2= AC+1 =√5+1
a3= BC-1=√13-1
a4=BC+1=√13+1
Cравним числа :
√5+1 и √13-1
2 и √13-√5
4 и 18-2*√65
-14 и -2√65
-7 и -√65
-√49 > -√65
Вывод:
√5+1 >√13 -1
a4>a2>a3>a1
Тогда из рисунка видно , что хотя бы 1 решение ( решения существует) ,когда |a|∈[ a1 ;a4]
a∈ [√5-1 ;√13+1] ∪ [-1-√13 ; 1-√5]