Кграфику функции f(x)=-2x-x^2 проведены касательные в точках с абсциссами х1=-2 и х2=1. найдите площадь треугольника, образованного этими касательными и осью ох
Добрый день, я рад выступить в роли школьного учителя и помочь вам решить эту задачу.
Для начала, давайте построим график функции f(x)=-2x-x^2:
Первым шагом будет построение самого графика функции f(x). Для этого нужно построить оси координат x и y на листе бумаги, а затем отметить несколько точек на графике. Например, можно выбрать несколько значений x, подставить их в функцию f(x) и получить соответствующие значения y.
Выберем несколько значений x: -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Подставим эти значения в функцию f(x) и получим следующие значения y:
Теперь построим график, отметив на листе бумаги точки с координатами (-3, 3), (-2, 0), (-1, 1), (0, 0), (1, -3), (2, -8). Соединим эти точки линией, и получим график функции f(x)=-2x-x^2.
Теперь перейдем к построению касательных к этому графику.
1) Касательная в точке с абсциссой х1=-2:
Для того, чтобы найти уравнение касательной, необходимо найти значение производной функции в этой точке. Производная функции f(x)=-2x-x^2 равна f'(x)=-2-2x.
Подставим x1=-2 в f'(x) и получим:
f'(-2) = -2-2*(-2) = -2+4 = 2
Таким образом, значение производной в точке х1=-2 равно 2.
Теперь, зная значение производной и координату точки, можно записать уравнение касательной в общем виде: y = f'(-2)(x - (-2)) + f(-2).
Подставим известные значения и упростим уравнение:
Таким образом, уравнение касательной в точке с абсциссой х2=1 имеет вид y = -4x + 1.
Итак, у нас есть два уравнения касательных: y = 2x + 4 и y = -4x + 1.
Теперь мы можем найти точки пересечения касательных с осью ох и найти площадь треугольника, образованного касательными и осью ох.
Для этого приравняем y в каждом уравнении касательной к нулю и найдем соответствующие значения x:
1) Для уравнения y = 2x + 4:
2x + 4 = 0
2x = -4
x = -2
Таким образом, одна точка пересечения касательной y = 2x + 4 с осью ох имеет координаты (-2, 0).
2) Для уравнения y = -4x + 1:
-4x + 1 = 0
-4x = -1
x = 1/4
Таким образом, вторая точка пересечения касательной y = -4x + 1 с осью ох имеет координаты (1/4, 0).
Теперь у нас есть две точки (-2, 0) и (1/4, 0), идущие по оси ох. Мы можем найти длины сторон треугольника, образованного этими точками, и посчитать площадь треугольника.
Длина первой стороны треугольника равна разности между абсциссами двух точек:
| -2 - 1/4 | = |-8/4 - 1/4| = |-9/4 | = 9/4
Длина второй стороны треугольника равна разности между абсциссами двух точек:
| -2 - 1/4 | = |-8/4 - 1/4| = |-9/4 | = 9/4
Длина третьей стороны треугольника равна разности между абсциссами двух точек:
| 1/4 - (-2) | = |1/4 + 8/4| = |9/4 | = 9/4
Теперь мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника:
s = (a + b + c) / 2
где a, b, c - длины сторон треугольника.
Подставляем значения:
s = (9/4 + 9/4 + 9/4) / 2 = 27/8 * 1/2 = 27/16
Таким образом, площадь треугольника, образованного касательными и осью ох, равна 27/16.
Надеюсь, мой ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас есть еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, сообщите мне, и я с радостью помогу вам.
Для начала, давайте построим график функции f(x)=-2x-x^2:
Первым шагом будет построение самого графика функции f(x). Для этого нужно построить оси координат x и y на листе бумаги, а затем отметить несколько точек на графике. Например, можно выбрать несколько значений x, подставить их в функцию f(x) и получить соответствующие значения y.
Выберем несколько значений x: -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Подставим эти значения в функцию f(x) и получим следующие значения y:
f(-3) = -2*(-3) - (-3)^2 = -6 + 9 = 3
f(-2) = -2*(-2) - (-2)^2 = 4 - 4 = 0
f(-1) = -2*(-1) - (-1)^2 = 2 - 1 = 1
f(0) = -2*0 - 0^2 = 0
f(1) = -2*1 - 1^2 = -2 - 1 = -3
f(2) = -2*2 - 2^2 = -4 - 4 = -8
Теперь построим график, отметив на листе бумаги точки с координатами (-3, 3), (-2, 0), (-1, 1), (0, 0), (1, -3), (2, -8). Соединим эти точки линией, и получим график функции f(x)=-2x-x^2.
Теперь перейдем к построению касательных к этому графику.
1) Касательная в точке с абсциссой х1=-2:
Для того, чтобы найти уравнение касательной, необходимо найти значение производной функции в этой точке. Производная функции f(x)=-2x-x^2 равна f'(x)=-2-2x.
Подставим x1=-2 в f'(x) и получим:
f'(-2) = -2-2*(-2) = -2+4 = 2
Таким образом, значение производной в точке х1=-2 равно 2.
Теперь, зная значение производной и координату точки, можно записать уравнение касательной в общем виде: y = f'(-2)(x - (-2)) + f(-2).
Подставим известные значения и упростим уравнение:
y = 2(x + 2) + f(-2) = 2x + 4 + f(-2) = 2x + 4 + (-2)*(-2)-(-2)^2 = 2x + 4 + 4 - 4 = 2x + 4
Таким образом, уравнение касательной в точке с абсциссой х1=-2 имеет вид y = 2x + 4.
2) Касательная в точке с абсциссой х2=1:
Аналогично предыдущему шагу, найдем значение производной и записываем уравнение касательной:
f'(x)=-2-2x
f'(1)=-2-2*1=-2-2=-4
y=f'(1)(x-1)+f(1)=-4(x-1)+f(1)=-4x+4+f(1)=-4x+4+(-2)*(1)-1^2=-4x+4-2-1=-4x+1
Таким образом, уравнение касательной в точке с абсциссой х2=1 имеет вид y = -4x + 1.
Итак, у нас есть два уравнения касательных: y = 2x + 4 и y = -4x + 1.
Теперь мы можем найти точки пересечения касательных с осью ох и найти площадь треугольника, образованного касательными и осью ох.
Для этого приравняем y в каждом уравнении касательной к нулю и найдем соответствующие значения x:
1) Для уравнения y = 2x + 4:
2x + 4 = 0
2x = -4
x = -2
Таким образом, одна точка пересечения касательной y = 2x + 4 с осью ох имеет координаты (-2, 0).
2) Для уравнения y = -4x + 1:
-4x + 1 = 0
-4x = -1
x = 1/4
Таким образом, вторая точка пересечения касательной y = -4x + 1 с осью ох имеет координаты (1/4, 0).
Теперь у нас есть две точки (-2, 0) и (1/4, 0), идущие по оси ох. Мы можем найти длины сторон треугольника, образованного этими точками, и посчитать площадь треугольника.
Длина первой стороны треугольника равна разности между абсциссами двух точек:
| -2 - 1/4 | = |-8/4 - 1/4| = |-9/4 | = 9/4
Длина второй стороны треугольника равна разности между абсциссами двух точек:
| -2 - 1/4 | = |-8/4 - 1/4| = |-9/4 | = 9/4
Длина третьей стороны треугольника равна разности между абсциссами двух точек:
| 1/4 - (-2) | = |1/4 + 8/4| = |9/4 | = 9/4
Теперь мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника:
s = (a + b + c) / 2
где a, b, c - длины сторон треугольника.
Подставляем значения:
s = (9/4 + 9/4 + 9/4) / 2 = 27/8 * 1/2 = 27/16
Таким образом, площадь треугольника, образованного касательными и осью ох, равна 27/16.
Надеюсь, мой ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас есть еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, сообщите мне, и я с радостью помогу вам.