Контрольна робота № 6 «Арифметична та геометрична прогресії» 1. Яка з наведених послідовностей є арифметичною прогресією?
а) 3; 6; 12; 24;…; б) 7; 10; 12; 13;…;
в) -10; 0; 10; -10;…; г) 20; 17; 14; 11;….
2. Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?
а) 2; 4; 6; 8;…; б) 20; 10; 5; 2,5; …;
в) 13; 31; 13; 31;…; г) 14; 31; 62; 124;….
3. Знайдіть 21-й член арифметичної прогресії (аn), якщо а4 = 17,
d = 4.
а) 89; б) 85; в) 104; г) 90.
4. Знайдіть знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b1 = 3,
b6 = 96.
а) -2; б) 2; в) 3; г) -2 або 2.
5. Знайдіть суму перших шести членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = -11, d = 2,5.
а) 29; б) -28,5; в) -30; г) -31,5.
6. Знайдіть суму перших чотирьох членів геометричної прогресії (bn), якщо b1 = 2, q = 3.
а) 40; б) 80; в) 11; г) 68.
Достатній рівень навчальних досягнень ( )
7. Знайдіть суму дванадцяти перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 6, а9 = 22.
8. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії (bn), якщо b3 = 4, b5 = 2.
Чтобы уравнение имело действительное решение , достаточно чтобы дискриминант был неотрицательным.
D/4 = (a^3-b^3)^2 -(a^2-b^2)*(a^4-b^4)>=0
То есть , необходимо доказать , что при любых a и b справедливо строгое неравенство :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4)
(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)^2>=(a-b)^2* (a+b)^2 * (a^2+b^2)
Заметим , что когда a=b , получаем что 0=0 , то есть условие выполнено. И в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Теперь, поскольку мы разобрали этот случай и (a-b)^2>=0 , то для случая a≠b , можно поделить обе части неравентсва на (a-b)^2 не меняя знак неравенства :
(a^2+ab+b^2)^2>=(a+b)^2*(a^2+b^2)
( a^2+ab+b^2)^2 >= (a^2+2ab+b^2)*(a^2+b^2)
Теперь сделаем слудующий прием , поскольку (a^2+b^2)^2>0 при a≠b≠0
То можно поделить на это выражение обе части неравенства не меняя его знак :
( 1+ ab/(a^2+b^2) )^2>= 1+ 2ab/(a^2+b^2)
Тогда можно сделать замену:
ab/(a^2+b^2)=t
(1+t)^2>=1+2t
t^2+2t+1>=1+2t
t^2>=0 (верно)
Таким образом :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4) , то есть D>=0.
Вывод : уравнение имеет действительное решение при любых действительных а и b.
Что и требовалось доказать.
Объяснение:
номер 1
1) 9х-6х=21
3х=21 х=7
2) 11х-4х=28
7х=28 х=4
3) 0.6-1.6х+6.4=21-1.2х
0.4х=-14 х=(-14)*4 х= - 64
4) (12х+18)(1.6-0.2х)=0
12х+18=0 12х=-18 х= -1.5 и
1.6-0.2х=0 0.2х=1.6 х=8
ответ: х= 8 или (-1.5)
5) 16х-14=18-20+16х -14=-2
выражение не имеет смысла
номер 2
пусть в первый день они Хкм, тогда во второй 2Хкм, а в третий Х+6
х+2х+х+6=38 4х=32 х=8
ответ: за перший дiнь км
номер 3: третий день х; тогда первый 3х, 2 день= х+8;
х+3х+х+8=58;
5х= 50; х=10 ответ: 10 км за третий день