Контрольная работа №2 по теме "Логарифмическая функция, логарифмические уравнения и неравенства"
Задание 1. Решение логарифмического уравнения
1) Нам дано логарифмическое уравнение: log₃(5x - 1) = log₃(2x + 5).
2) Для начала, мы можем использовать свойство равенства логарифмов, согласно которому a = b, если и только если logₐ(a) = logₐ(b). Таким образом, мы можем записать уравнение в эквивалентной форме: 5x - 1 = 2x + 5.
3) Теперь решим получившееся линейное уравнение. Добавим -2x к обеим сторонам уравнения: 5x - 2x - 1 = 2x - 2x + 5.
Упростим уравнение: 3x - 1 = 5.
Прибавим 1 к обеим сторонам уравнения: 3x - 1 + 1 = 5 + 1.
Упростим уравнение: 3x = 6.
Разделим обе стороны уравнения на 3: (3x)/3 = 6/3.
Упростим уравнение: x = 2.
Ответ: x = 2.
Задание 2. Решение логарифмического неравенства
1) Нам дано логарифмическое неравенство: log₃(x - 4) > log₃(3 - x).
2) Здесь нам нужно использовать свойство монотонности логарифмической функции, которое гласит: для любых положительных чисел a, b и c, если a > b, то logₐ(c) > logₐ(b). В нашем случае, (x - 4) > (3 - x), следовательно, log₃(x - 4) > log₃(3 - x).
3) Теперь решим получившееся линейное неравенство. Разделим неравенство на log₃, чтобы избавиться от логарифмической функции: (x - 4) > (3 - x).
Добавим x к обеим сторонам неравенства: x + (x - 4) > (3 - x) + x.
Упростим неравенство: 2x - 4 > 3.
Добавим 4 к обеим сторонам неравенства: 2x - 4 + 4 > 3 + 4.
Упростим неравенство: 2x > 7.
Разделим обе стороны неравенства на 2: (2x)/2 > 7/2.
Упростим неравенство: x > 7/2.
Ответ: x > 7/2.
Задание 3. Неравенство с неизвестной в знаменателе
1) Нам дано неравенство: log₃(7 - x) < 2.
2) Чтобы решить это неравенство, мы должны использовать свойства монотонности логарифмической функции.
3) Применим свойство монотонности: (7 - x) < 3².
4) Упростим неравенство: (7 - x) < 9.
5) Вычтем 7 из обеих сторон неравенства: (7 - x) - 7 < 9 - 7.
Упростим неравенство: -x < 2.
6) Умножим обе стороны неравенства на -1, чтобы изменить знак: (-1)(-x) > (-1)(2).
Упростим неравенство: x > -2.
Ответ: x > -2.
Надеюсь, это поможет тебе решить контрольную работу успешно! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!
Задание 1. Решение логарифмического уравнения
1) Нам дано логарифмическое уравнение: log₃(5x - 1) = log₃(2x + 5).
2) Для начала, мы можем использовать свойство равенства логарифмов, согласно которому a = b, если и только если logₐ(a) = logₐ(b). Таким образом, мы можем записать уравнение в эквивалентной форме: 5x - 1 = 2x + 5.
3) Теперь решим получившееся линейное уравнение. Добавим -2x к обеим сторонам уравнения: 5x - 2x - 1 = 2x - 2x + 5.
Упростим уравнение: 3x - 1 = 5.
Прибавим 1 к обеим сторонам уравнения: 3x - 1 + 1 = 5 + 1.
Упростим уравнение: 3x = 6.
Разделим обе стороны уравнения на 3: (3x)/3 = 6/3.
Упростим уравнение: x = 2.
Ответ: x = 2.
Задание 2. Решение логарифмического неравенства
1) Нам дано логарифмическое неравенство: log₃(x - 4) > log₃(3 - x).
2) Здесь нам нужно использовать свойство монотонности логарифмической функции, которое гласит: для любых положительных чисел a, b и c, если a > b, то logₐ(c) > logₐ(b). В нашем случае, (x - 4) > (3 - x), следовательно, log₃(x - 4) > log₃(3 - x).
3) Теперь решим получившееся линейное неравенство. Разделим неравенство на log₃, чтобы избавиться от логарифмической функции: (x - 4) > (3 - x).
Добавим x к обеим сторонам неравенства: x + (x - 4) > (3 - x) + x.
Упростим неравенство: 2x - 4 > 3.
Добавим 4 к обеим сторонам неравенства: 2x - 4 + 4 > 3 + 4.
Упростим неравенство: 2x > 7.
Разделим обе стороны неравенства на 2: (2x)/2 > 7/2.
Упростим неравенство: x > 7/2.
Ответ: x > 7/2.
Задание 3. Неравенство с неизвестной в знаменателе
1) Нам дано неравенство: log₃(7 - x) < 2.
2) Чтобы решить это неравенство, мы должны использовать свойства монотонности логарифмической функции.
3) Применим свойство монотонности: (7 - x) < 3².
4) Упростим неравенство: (7 - x) < 9.
5) Вычтем 7 из обеих сторон неравенства: (7 - x) - 7 < 9 - 7.
Упростим неравенство: -x < 2.
6) Умножим обе стороны неравенства на -1, чтобы изменить знак: (-1)(-x) > (-1)(2).
Упростим неравенство: x > -2.
Ответ: x > -2.
Надеюсь, это поможет тебе решить контрольную работу успешно! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!