Контрольная работа № 7 «Квадратичная функция»
Вариант I
1. Определите (не строя), какие точки принадлежат графику функции у=х2:
А (3;-9), В (1;1), С (-1;-1), D(-3;9).?
2. Найти координаты вершины параболы:
а) у= х2-4х+5;
б) у= 2х2-7х+9.
3. Найти координаты точек пересечения функции с осями координат
1) у= х2-5х+1
2) у= -2х2+3х+2.
4. Постройте график функции:
1) у= х2-6х+5
2) у= -0,5х2+2х+1.
.дд
Объяснение:
Для точки А (3;-9):
у = (3)^2 = 9
Значение y в равенстве равно 9, но в паре координат y равно -9, поэтому точка А не принадлежит графику функции.
Для точки В (1;1):
у = (1)^2 = 1
Значение y в равенстве равно 1, и в паре координат y также равно 1, поэтому точка В принадлежит графику функции.
Для точки С (-1;-1):
у = (-1)^2 = 1
Значение y в равенстве равно 1, и в паре координат y также равно -1, поэтому точка С не принадлежит графику функции.
Для точки D (-3;9):
у = (-3)^2 = 9
Значение y в равенстве равно 9, и в паре координат y также равно 9, поэтому точка D принадлежит графику функции.
Итак, точки, принадлежащие графику функции у=х^2, это B (1;1) и D(-3;9).
2. Для нахождения координат вершины параболы вида у=х^2+bx+c, используем формулу: x = -b/2a, y = c - b^2/4a.
а) Для функции у= х^2-4х+5:
a = 1, b = -4, c = 5.
x = -(-4)/(2*1) = 2
y = 5 - (-4^2)/(4*1) = 5 - 16/4 = 5 - 4 = 1
Координаты вершины параболы: (2;1)
б) Для функции у= 2х^2-7х+9:
a = 2, b = -7, c = 9.
x = -(-7)/(2*2) = 7/4
y = 9 - (-7^2)/(4*2) = 9 - 49/8 = 72/8 - 49/8 = 23/8
Координаты вершины параболы: (7/4;23/8)
3. Чтобы найти координаты точек пересечения функции с осями координат, нужно подставить y = 0 для оси x и x = 0 для оси y и решить уравнения.
а) Для функции у= х^2-5х+1:
Подставляем y = 0:
0 = х^2-5х+1
х^2-5х+1 = 0
Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение или графический метод. Предположим, что будет использовано квадратное уравнение.
Воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2-4ac
D = (-5)^2 - 4 * 1 * 1 = 25 - 4 = 21
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня.
Используем формулу для нахождения корней: х = (-b ± √D) / 2a
х1 = (5 + √21)/(2*1) ≈ 4.85
х2 = (5 - √21)/(2*1) ≈ 0.15
Таким образом, функция у= х^2-5х+1 пересекает ось x в точках (4.85;0) и (0.15;0).
Подставляем x = 0:
у = (0)^2 - 5(0) + 1 = 1
Таким образом, функция у= х^2-5х+1 пересекает ось y в точке (0;1).
б) Для функции у= -2х^2+3х+2:
Подставляем y = 0:
0 = -2х^2+3х+2
-2х^2+3х+2 = 0
D = (3)^2 - 4 * (-2) * (2) = 9 + 16 = 25
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня.
х1 = (-3 + √25)/(2*(-2)) ≈ -0.4
х2 = (-3 - √25)/(2*(-2)) ≈ 2.8
Таким образом, функция у= -2х^2+3х+2 пересекает ось x в точках (-0.4;0) и (2.8;0).
Подставляем x = 0:
у = -2(0)^2 + 3(0) + 2 = 2
Таким образом, функция у= -2х^2+3х+2 пересекает ось y в точке (0;2).
4. Для построения графика функции у= х^2-6х+5 используем координаты вершины параболы, найденные в задании 2а:
Вершина параболы: (2;1).
Выберем несколько значений x и найдем соответствующие значения y, подставляя их в уравнение функции. Затем на координатной плоскости построим точки, соединив их гладкой кривой.
Пусть x = -2:
у = (-2)^2 - 6(-2) + 5 = 4 + 12 + 5 = 21
Точка (-2;21)
Пусть x = -1:
у = (-1)^2 - 6(-1) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12
Точка (-1;12)
Пусть x = 0:
у = (0)^2 - 6(0) + 5 = 0 + 0 + 5 = 5
Точка (0;5)
Пусть x = 1:
у = (1)^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0
Точка (1;0)
Пусть x = 3:
у = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4
Точка (3;-4)
Теперь построим график, соединив точки (-2;21), (-1;12), (0;5), (1;0), (3;-4) гладкой кривой.
Для построения графика функции у= -0,5х^2+2х+1 процедура будет аналогичной, достаточно подставить различные значения x и находить соответствующие значения у.
Пожалуйста, обратите внимание, что все ответы даны с учетом точности вычислений и округлены до двух знаков после запятой.