Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так
Пусть x,y,z количества участков каждого размера (3×1 , 4×2 и 6×2), то из рассуждений площадей имеем :
3×1x+4×2y+6×2z = 13×20 . ( 13 по горизонтали)
3x = 13×20 - 4×2y - 6×2z
Как видим, правая часть делится на 4, а значит x ( число прямоугольников 3×1 ) делится на 4, то есть x = 4;8;12;16...
Достаточно легко привести пример такого построения для x = 8 (смотрите рисунок). А вот с x = 4 возникают проблемы. Попробуем доказать, что вариант с x = 4 невозможен.
Поскольку число 13 нечетное, то каждая горизонталь должна пересекаться хотя бы с одним прямоугольником 3×1, иначе эта горизонталь будет пересекаться только с прямоугольниками 4×2 и 6×2, однако эти прямоугольники имеют только четные стороны, а значит они будут давать по горизонтали четную сумму, что противоречит нечетному числу 13 .
Всего мы имеем 20 горизонталей, однако у нас всего 4 прямоугольника 3×1, поэтому эти прямоугольники смогут покрыть не более 3×4 = 12 горизонталей, что нас не устраивает. То есть мы пришли к противоречию, вариант с x = 4 невозможен. Таким образом минимальное число прямоугольников 3×1 равно 8 .
На рисунке как раз виден принцип построения, где мы покрыли все 20 горизонталей прямоугольниками 3×1, что было бы невозможным в случае, когда x= 4.
tg α – tg β = tg (α – β) (1 + tg α tg β).
Получаем:
tg x tg 2x tg 3x = tg 3x – tg x + tg 4x – tg 2x,
tg x tg 2x tg 3x = tg 2x (1 + tg x tg 3x) + tg 2x (1 + tg 2x tg 4x),
tg 2x (1 + tg x tg 3x – tg x tg 3x + 1 + tg 2x tg 4x) = 0,
tg 2x = 0 или tg 2x tg 4x = –2.
С первым понятно, что делать. Второе:
tg 2x tg 4x = –2,
tg 2x · 2 tg 2x / (1 – tg² 2x) = –2,
tg² 2x = tg² 2x – 1.
Это равенство невозможно.
Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так
Пусть x,y,z количества участков каждого размера (3×1 , 4×2 и 6×2), то из рассуждений площадей имеем :
3×1x+4×2y+6×2z = 13×20 . ( 13 по горизонтали)
3x = 13×20 - 4×2y - 6×2z
Как видим, правая часть делится на 4, а значит x ( число прямоугольников 3×1 ) делится на 4, то есть x = 4;8;12;16...
Достаточно легко привести пример такого построения для x = 8 (смотрите рисунок). А вот с x = 4 возникают проблемы. Попробуем доказать, что вариант с x = 4 невозможен.
Поскольку число 13 нечетное, то каждая горизонталь должна пересекаться хотя бы с одним прямоугольником 3×1, иначе эта горизонталь будет пересекаться только с прямоугольниками 4×2 и 6×2, однако эти прямоугольники имеют только четные стороны, а значит они будут давать по горизонтали четную сумму, что противоречит нечетному числу 13 .
Всего мы имеем 20 горизонталей, однако у нас всего 4 прямоугольника 3×1, поэтому эти прямоугольники смогут покрыть не более 3×4 = 12 горизонталей, что нас не устраивает. То есть мы пришли к противоречию, вариант с x = 4 невозможен. Таким образом минимальное число прямоугольников 3×1 равно 8 .
На рисунке как раз виден принцип построения, где мы покрыли все 20 горизонталей прямоугольниками 3×1, что было бы невозможным в случае, когда x= 4.