Войти Регистрация Спроси ai-bota

Mатематический индукция 13+25++n(2n+1)=n(n+1)(4n+5)/6 нужно доказать . !

Показать ответ

Ответ:

isa2221

07.10.2020 08:20

В равенстве слева сумма имеет общий член a_n=n(2n+1)

1) Базис индукции: n=1

$1\cdot (2\cdot 1+1)=\dfrac{1\cdot (1+1)\cdot (4\cdot 1+5)}{6}~~~\Rightarrow~~~ 3=3$

2) Предположим, что и для n=k верно равенство

$1\cdot 3+2\cdot 5+...+k(2k+1)=\dfrac{k(k+1)(4k+5)}{6}$

3) Индукционный переход: n=k+1

$\underbrace{1\cdot 3+2\cdot 5+...+k(2k+1)}_{\frac{k(k+1)(4k+5)}{6}}+(k+1)(2k+3)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\\\\dfrac{k(k+1)(4k+5)}{6}+(k+1)(2k+3)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ (k+1)\left(\dfrac{k(4k+5)}{6}+2k+3\right)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ (k+1)\cdot \dfrac{4k^2+5k+12k+18}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ \dfrac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ \dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}$

Равенство выполняется для всех натуральных n. Что и требовалось доказать.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

magiclotas

16.10.2021 00:53

Периметр треугольника авс равен 44см .сторона ав вдвое меньше стороны вс и на 4см меньше стороны ас. наидите длины всех сторон треугольника...

28916587

16.10.2021 00:53

Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 840. найдите эти числа....

vidana3

16.10.2021 00:53

Разложить многочлен на множители группировки xy^2-by^2-ax+ab+y^2-a...

Alllexxxsss

16.10.2021 00:53

Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов а и в , расстояние между которыми равно 54 км, и через 2 часа встречаются. не останавливаясь,...

Юриякамория

16.10.2021 00:53

Найдите значение выражения 1,4x^3+0,3^2-2 при х=-2...

zarinaa2004

20.08.2022 01:52

Решите все 3 ) заранее) 1)логапифмы каких натуральных чисел, не превосходящих 100, можно вычислить, зная значения lg2 и lg3? 2)разность десятичных логарифмов двух чисел...

dimatitov1428dimasik

20.08.2022 01:52

Представьте в виде степени и вычислите 2^17^*2^-15^*2^2^...

sweetdog7

09.11.2020 12:45

Значение какого из выражений является наименьшим? 1) 2-√5 2) 1-√2 3) 2-√1 4√3 решение и объяснение да и побольше...

freezcat

09.11.2020 12:45

Вслучайном эксперименте бросают две игральные кости. найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. ответ округлите до двух знаков после запятой....

mariyayakovleva1

26.09.2021 02:37

У столярній майстерні працюють майстер і його учень. За скільки днів учень може виготовити крісло, якщо він на виготовлення крісла витрачає на 3 дн(-ів, -я) більше,...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку