Для решения этого задания нам понадобится использовать свойство суммы и произведения корней квадратного уравнения.
У нас дано, что x1 и x2 - корни уравнения x^2 + 12x + 6 = 0. Мы не знаем значения этих корней, но можем воспользоваться свойством, что сумма корней x1 и x2 равна -b/a, где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.
В данном случае, коэффициенты при x^2 и x равны 1 и 12 соответственно. Таким образом, сумма корней x1 и x2 будет равна -12/1, то есть -12.
Теперь посмотрим, как можно использовать данную информацию для нахождения искомого значения выражения x1^2 * x^2 + x2^2 * x1.
Мы знаем, что x1 и x2 - корни данного уравнения, поэтому можем записать его в виде:
(x - x1)(x - x2) = x^2 + 12x + 6 = 0.
Раскроем скобки:
x^2 - x2x - x1x + x1x2 = x^2 + 12x + 6.
Теперь сгруппируем слагаемые:
x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = x^2 + 12x + 6.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем:
x1 + x2 = -12 (сумма корней) и x1x2 = 6.
Вывод: Мы нашли, что сумма корней x1 и x2 равна -12, а их произведение равно 6.
Теперь мы можем выразить x1^2 * x^2 + x2^2 * x1 через x1 + x2 и x1x2.
Заметим, что x1^2 * x^2 + x2^2 * x1 равно:
x1^2 * x^2 + x1 * x2^2.
Мы можем выразить x1 и x2 через их сумму и произведение:
Для поиска наименьших и наибольших значений функций нужно знать, как они меняются при изменении переменной (х).
Для функций вида у = ах² + b, где а и b - константы, мы знаем, что "а" определяет открывание или закрывание параболы, а "b" сдвигает параболу вверх или вниз.
а) Найдем наименьшее значение функции у = 4х² - 2:
Шаг 1: Посмотрим на значение "а". В нашем случае а = 4, поэтому парабола открывается вверх.
Шаг 2: Так как парабола открывается вверх, мы понимаем, что ее наименьшее значение находится в самом начале параболы (в вершине). Для нахождения координат вершины, воспользуемся формулой (-b/2а).
Шаг 3: Подставим значения в формулу:
х = -(-2) / 2*4 = 2/8 = 1/4
Шаг 4: Теперь найдем значение у:
у = 4*(1/4)² - 2 = 4/16 - 2 = 1 - 2 = -1
Ответ: наименьшее значение функции у = 4х² - 2 равно -1.
Для функции у = -2х² + 4 процесс будет аналогичным:
Шаг 1: Значение "а" равно -2, поэтому парабола открывается вниз.
Шаг 2: Наименьшее значение параболы находится в вершине. Используем формулу (-b/2а).
Шаг 3: Подставляем значения:
х = -4 / 2*(-2) = 4/-4 = -1
Шаг 4: Найдем значение у:
у = -2*(-1)² + 4 = -2*1 + 4 = -2 + 4 = 2
Ответ: наименьшее значение функции у = -2х² + 4 равно 2.
б) Теперь найдем наибольшие значения функций.
Для функции у = 3х² - 2,5:
Шаг 1: Значение "а" равно 3, поэтому парабола открывается вверх.
Шаг 2: Наибольшее значение параболы также находится в вершине. Воспользуемся формулой (-b/2а).
Шаг 3: Подставляем значения:
х = -0 / 2*3 = 0
Шаг 4: Найдем значение у:
у = 3*0² - 2,5 = 0 - 2,5 = -2,5
Ответ: наибольшее значение функции у = 3х² - 2,5 равно -2,5.
Для функции у = -2,5х² + 3 процесс аналогичный:
Шаг 1: Значение "а" равно -2,5, поэтому парабола открывается вниз.
Шаг 2: Наибольшее значение параболы находится в вершине. Используем формулу (-b/2а).
Шаг 3: Подставим значения:
х = -0 / 2*(-2,5) = 0
Шаг 4: Найдем значение у:
у = -2,5*0² + 3 = 2,5*0 + 3 = 3
Ответ: наибольшее значение функции у = -2,5х² + 3 равно 3.
Таким образом, наименьшие значения функций y = 4х² - 2 и y = -2х² + 4 равны -1 и 2 соответственно. А наибольшие значения функций y = 3х² - 2,5 и y = -2,5х² + 3 равны -2,5 и 3 соответственно.
У нас дано, что x1 и x2 - корни уравнения x^2 + 12x + 6 = 0. Мы не знаем значения этих корней, но можем воспользоваться свойством, что сумма корней x1 и x2 равна -b/a, где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.
В данном случае, коэффициенты при x^2 и x равны 1 и 12 соответственно. Таким образом, сумма корней x1 и x2 будет равна -12/1, то есть -12.
Теперь посмотрим, как можно использовать данную информацию для нахождения искомого значения выражения x1^2 * x^2 + x2^2 * x1.
Мы знаем, что x1 и x2 - корни данного уравнения, поэтому можем записать его в виде:
(x - x1)(x - x2) = x^2 + 12x + 6 = 0.
Раскроем скобки:
x^2 - x2x - x1x + x1x2 = x^2 + 12x + 6.
Теперь сгруппируем слагаемые:
x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = x^2 + 12x + 6.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем:
x1 + x2 = -12 (сумма корней) и x1x2 = 6.
Вывод: Мы нашли, что сумма корней x1 и x2 равна -12, а их произведение равно 6.
Теперь мы можем выразить x1^2 * x^2 + x2^2 * x1 через x1 + x2 и x1x2.
Заметим, что x1^2 * x^2 + x2^2 * x1 равно:
x1^2 * x^2 + x1 * x2^2.
Мы можем выразить x1 и x2 через их сумму и произведение:
x1 = -12 - x2 и (1).
Теперь подставим (1) в x1^2 * x^2 + x1 * x2^2:
(-12 - x2)^2 * x^2 + (-12 - x2) * x2^2
(-12 - x2)(-12 - x2) * x^2 + (-12 - x2) * x2^2
(-12 - x2)(144 + 24x2 + x2^2) + (-12 - x2) * x2^2.
Раскроем скобки:
144*(-12) + 24*(-12)*x2 + (-12)*x2^2 + (-12)*(-12) + (-12)*(-2x2) + (-12)*x2^2.
Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые:
-1728 - 288x2 - 12x2^2 + 144 + 24x2 - 12x2^2.
Упростим выражение, объединяя похожие слагаемые:
-1728 + 144 - 12x2^2 - 12x2^2 + 24x2 - 12x2 + 144.
-1728 + 288 - 24x2^2 + 12x2 + 144.
(-1728 + 288 + 144) + 12x2(2 - x2).
-1296 + 12x2(2 - x2).
Таким образом, значение выражения x1^2 * x^2 + x2^2 * x1 равно -1296 + 12x2(2 - x2).
Для функций вида у = ах² + b, где а и b - константы, мы знаем, что "а" определяет открывание или закрывание параболы, а "b" сдвигает параболу вверх или вниз.
а) Найдем наименьшее значение функции у = 4х² - 2:
Шаг 1: Посмотрим на значение "а". В нашем случае а = 4, поэтому парабола открывается вверх.
Шаг 2: Так как парабола открывается вверх, мы понимаем, что ее наименьшее значение находится в самом начале параболы (в вершине). Для нахождения координат вершины, воспользуемся формулой (-b/2а).
Шаг 3: Подставим значения в формулу:
х = -(-2) / 2*4 = 2/8 = 1/4
Шаг 4: Теперь найдем значение у:
у = 4*(1/4)² - 2 = 4/16 - 2 = 1 - 2 = -1
Ответ: наименьшее значение функции у = 4х² - 2 равно -1.
Для функции у = -2х² + 4 процесс будет аналогичным:
Шаг 1: Значение "а" равно -2, поэтому парабола открывается вниз.
Шаг 2: Наименьшее значение параболы находится в вершине. Используем формулу (-b/2а).
Шаг 3: Подставляем значения:
х = -4 / 2*(-2) = 4/-4 = -1
Шаг 4: Найдем значение у:
у = -2*(-1)² + 4 = -2*1 + 4 = -2 + 4 = 2
Ответ: наименьшее значение функции у = -2х² + 4 равно 2.
б) Теперь найдем наибольшие значения функций.
Для функции у = 3х² - 2,5:
Шаг 1: Значение "а" равно 3, поэтому парабола открывается вверх.
Шаг 2: Наибольшее значение параболы также находится в вершине. Воспользуемся формулой (-b/2а).
Шаг 3: Подставляем значения:
х = -0 / 2*3 = 0
Шаг 4: Найдем значение у:
у = 3*0² - 2,5 = 0 - 2,5 = -2,5
Ответ: наибольшее значение функции у = 3х² - 2,5 равно -2,5.
Для функции у = -2,5х² + 3 процесс аналогичный:
Шаг 1: Значение "а" равно -2,5, поэтому парабола открывается вниз.
Шаг 2: Наибольшее значение параболы находится в вершине. Используем формулу (-b/2а).
Шаг 3: Подставим значения:
х = -0 / 2*(-2,5) = 0
Шаг 4: Найдем значение у:
у = -2,5*0² + 3 = 2,5*0 + 3 = 3
Ответ: наибольшее значение функции у = -2,5х² + 3 равно 3.
Таким образом, наименьшие значения функций y = 4х² - 2 и y = -2х² + 4 равны -1 и 2 соответственно. А наибольшие значения функций y = 3х² - 2,5 и y = -2,5х² + 3 равны -2,5 и 3 соответственно.