Между какими соседними натуральными числами заключено число корень 51,5 ;корень 12 -2

1) Sin x Cos y = 0,36
     Cos xSin y = 0,175    сложим:
SinxCosy + Cosx Siny = 0,535
Sin(x +y) = 0,535
x + y =  (-1)^n arcSin0,535 + nπ  аналогично:
x - y = (-1)^k arcSin0,185 + kπ, k ∈Z
2x  =  (-1)^n arcSin0,535 + nπ+ (-1)^k arcSin0,185+ kπ=
= (-1)^n arcSin0,535 + (-1)^k arcSin0,185+ mπ, m ∈Z
x =  (-1)^n·1/2· arcSin0,535 + (-1)^k·1/2· arcSin0,185+ 1/2·mπ, m ∈Z
y =(-1)^n arcSin0,535 + nπ -  (-1)^n·1/2· arcSin0,535 - (-1)^k·1/2· arcSin0,185- 1/2·mπ, m ∈Z
2)Sin x Sin y = 3/4
    tg xtg y = 3⇒ (SinxSiny)/(CosxCosy) = 3⇒ 3/4(CosxCosy) =3
⇒Cos xCosy = 1/4
теперь наша система:
Sin xSiny = 3/4
Cos xCos y = 1/4    сложим:
Сos(x - y) =1
x-y = 2πn, n ∈Z  (теперь вычтем и получим:)
Сos(х + у) = 1/2
x + y = +-√3/2 + 2πk , k ∈Z
теперь наша система:
x-y = 2πn, n ∈Z
x + y = +-√3/2 + 2πk , k ∈Z  сложим:
2х = +-√3/2 +2πm, m∈Z
x = +-√3/4 + πm , m∈Z
y = x - 2πn = +-√3/4 + πm -2πn = +-√3/4 +π(m -2n), m,n∈Z

10.24
При возрастающей геометрической прогрессии:
b₁ >0,   q > 1.

b₄ - b₁ = 26/3
b₃ - b₁ = 8/3
S₅ - ?

b₄=b₁*q³
b₃=b₁*q²

{b₁*q³-b₁=26/3        {b₁(q³ -1)=26/3   
{b₁*q² -b₁=8/3         {b₁(q² - 1)=8/3

b₁=   26                  b₁ =   8      
      3(q³-1)                    3(q²-1)
  26      =    8     
3(q³-1)    3(q²-1)
  26     =    8    
q³-1         q² -1
26(q² -1)= 8(q³ -1)
13(q-1)(q+1)= 4(q-1)(q²+q+1)
13(q-1)(q+1) - 4(q-1)(q²+q+1)=0
(q-1)(13(q+1) - 4(q²+q+1))=0
(q-1)(13q+13-4q²-4q-4)=0
(q-1)(-4q²+9q+9)=0
q-1=0                        -4q²+9q+9=0
q=1                             4q² -9q-9=0
не подходит               D=81+4*4*9=81+144=225
                                   q₁= 9-15 = -6/8= -3/4 - не подходит
                                           8
                                   q₂= 9+15 =3
                                            8
b₁ =      8       =     8     = 1/3
        3(3² -1)     3 * 8
b₅ = b₁*q⁴ = 1/3 * 3⁴ = 3³ = 27
S₅ = b₁ -b₅q =1/3 - 27*3 =  1-243    = -242  = 40 ²/₆ = 40 ¹/₃
          1-q           1-3              3*(-2)       -6
ответ: 40 ¹/₃.

10.01
При возрастающей арифметической прогрессии  d>0.
А₅=4
А₄*А₆ - А₁*А₉ =60
S₃ -?

A₄=A₅ -d
A₆=A₅ +d
A₁=A₅ -4d
A₉=A₅+4d

(A₅-d)(A₅+d) - (A₅-4d)(A₅+4d)=60
A₅² - d² - A₅² +16d² =60
15d² =60
d² =4 
d= -2 - не подходит
d=2

A₁=4-4*2=4-8= -4
A₃= -4+2*2=-4+4=0
S₃= (A₁+A₃)*3 = 1.5*(-4+0)= -6
             2
ответ: -6.

10.29
q=2
S₇=635
b₇ - ?

S₇= b₁(q⁷ -1) = b₁ (2⁷ -1) = b₁ (128-1) = 127 b₁
           q-1            2-1
127 b₁ = 635
b₁ = 635/127
b₁ = 5

b₇ = b₁*q⁶
b₇ = 5*2⁶ = 5*64 = 320
ответ: 320

10.31
|q|<1 - убывающая геометрическая прогрессия
S₄ -?
{b₁ b₄ =3b₂
{b₁ + b₃=15

b₄=b₁*q³
b₃=b₁*q²

{b₁*b₁*q³=3*b₁*q         {b₁²*q³ - 3b₁q=0
{b₁+b₁q² =15               {b₁(1+q²)=15

b₁q (b₁q² -3)=0
b₁q=0                  b₁q² -3=0          
b₁=0 - нет           b₁q² =3
q=0 - нет             b₁= 3/q²

b₁(1+q²)=15
b₁= 15   
      1+q²
 15   =   3  
1+q²     q²
15q² =3(1+q²)
15q² -3q² = 3
12q² =3
q² = 3/12
q² = 1/4
q₁ = -1/2
q₂ = 1/2

b₁ = 3  = 12
      ¹/₄
При q= -1/2:
S₄ = 12((-¹/₂)⁴ -1) =  12(¹/₁₆ -1) =  - 24 (¹⁵/₁₆) = 8 * (¹⁵/₁₆) = 15/2 =7.5
            ⁻¹/₂ - 1              ⁻³/₂                    -3

При q =1/2
S₄ = 12((¹/₂)⁴ -1) = 12(¹/₁₆ -1) = -12*2*(¹⁵/₁₆) = 24 *(¹⁵/₁₆) = 45/2=22.5
            ¹/₂ -1                ⁻¹/₂                -1
ответ: 7,5  и  22,5