На доске написаны числа 2 и 3. за один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1. пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5, соответственно. а) пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 15. б) может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 100. в) сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел? указание к ответу: в итоговый ответ к запишите ответ к пункту в).
Ход 1: 2 и 3 заменяются на 3 и 5.
Ход 2: 3 и 5 заменяются на 5 и 7.
Ход 3: 5 и 7 заменяются на 7 и 9.
Ход 4: 7 и 9 заменяются на 9 и 11.
Ход 5: 9 и 11 заменяются на 11 и 13.
Ход 6: 11 и 13 заменяются на 12 и 21.
Ход 7: 12 и 21 заменяются на 15 и 23.
Таким образом, после 7 шагов одно из чисел на доске будет равно 15.
б) Чтобы понять, может ли после 50 ходов одно из чисел, написанных на доске, стать равным 100, рассмотрим пары чисел, появляющиеся на каждом шаге:
- На первом шаге: (2, 3)
- На втором шаге: (3, 5), (4, 5)
- На третьем шаге: (5, 7), (5, 6), (6, 7)
Мы видим, что количество возможных пар чисел увеличивается на каждом шаге. На каждом шаге получаем две новые пары, добавляя к каждому числу на доске еще одно число. Таким образом, при каждом шаге количество пар чисел удваивается.
На втором шаге имеем 2 пары чисел, на третьем - 4 пары, на четвертом - 8 пар, и так далее.
Поскольку у нас нужно пройти 50 шагов, количество пар чисел будет равно 2^50. Это очень большое число, и нам нужно узнать, может ли в этом множестве пар чисел появиться пара, в которой одно число будет равно 100.
Чтобы понять это, рассмотрим уравнение a + b = 100, где a и b - числа на доске.
Если одно число на доске было бы равно 100, то другое число должно быть равно 0 (100 - 100 = 0). Однако, в описанной последовательности ходов, на каждом шаге добавляется к обоим числам на доске один и тот же ненулевой коэффициент (2). Таким образом, невозможно получить пару чисел, в которой одно будет равно 100.
Вывод: после 50 ходов ни одно из чисел на доске не может стать равным 100.
в) В данном пункте задачи просто требуется найти минимальное возможное значение разности большего и меньшего из полученных чисел после 2015 ходов.
Мы знаем, что на каждом шаге после замены чисел их сумма увеличивается на 1, так как в одной из частей замены добавляется значение 1, а в другой - вычитается значение 1.
Чтобы минимизировать разность, нужно максимизировать сумму чисел после каждого шага. Изначально у нас есть числа 2 и 3. Если мы каждый раз заменяем числа на их сумму, то после каждого шага сумма удваивается. Таким образом, после каждого шага сумма чисел будет равна 2^(количество шагов) умножить на исходную сумму 5 (2 + 3).
Мы знаем, что было выполнено 2015 ходов, поэтому количество шагов равно 2015. Таким образом, исходная сумма умножается на 2^2015.
Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем:
Сумма чисел = 5 * (1 - 2^2015) / (1 - 2)
Теперь нам нужно найти наименьшее возможное значение для разности между большим и меньшим из полученных чисел.
Для этого рассмотрим два случая:
- После всех шагов наибольшее число будет находиться в первой части замены (2a - 1).
В этом случае наименьшее число будет находиться во второй части замены (2b - 1).
Тогда разность будет равна: (2a - 1) - (2b - 1) = 2(a - b)
- После всех шагов наибольшее число будет находиться во второй части замены (2b - 1).
В этом случае наименьшее число будет находиться в первой части замены (2a - 1).
Тогда разность будет равна: (2b - 1) - (2a - 1) = 2(b - a)
В обоих случаях величина разности будет равна абсолютной величине разности между a и b, умноженной на 2.
Мы знаем, что числа a и b возрастают с каждым шагом, так как на каждом шаге происходит добавление одного и того же значения к обоим числам на доске.
Следовательно, разность между числами a и b будет максимальной, когда разность между их исходными значениями будет наибольшей.
Исходные значения чисел на доске равны 2 и 3.
Тогда разность между ними равна 3 - 2 = 1.
Значит, наименьшее значение разности большего и меньшего из полученных чисел после 2015 ходов равно 2 * 1 = 2.
Ответ: 2.